Температурна залежність електропровідності металів. Залежність електропровідності від температури Температурна провідність

Як зазначалося в У веденні,зі зростанням температури у напівпровіднику з'являтиметься дедалі більше вільних носіїв електричного заряду– електронів у зоні провідності та дірок у валентній зоні. Якщо зовнішнє електричне поле відсутнє, рух цих заряджених частинок носить хаотичний характері струм через будь-який переріз зразка дорівнює нулю. Середню швидкість частинок – т.зв. "теплову швидкість" можна розрахувати за тією ж формулою, що і середню теплову швидкість молекул ідеального газу

де k- Постійна Больцмана; m-Ефективна маса електронів або дірок.

При застосуванні зовнішнього електричного поля в напівпровіднику з'явиться направлена, «Дрейфова»компонента швидкості - По полю у дірок, проти поля - у електронів, тобто. через зразок потече електричний струм. Щільність струму j складатиметься із щільностей «електронного» j nта «дірочного» j p струмів:

де n, p- концентрації вільних електронів та дірок; υ n , υ p- Дрейфові швидкості носіїв заряду.

Тут слід зауважити, що хоча заряди у електрона та дірки – протилежні за знаком, але й вектори дрейфових швидкостей направлені у протилежні сторони, тобто сумарний струм фактично є сумою модулів електронного та діркового струмів.

Очевидно, що швидкість υ n і υ p самі залежатимуть від зовнішнього електричного поля (у найпростішому випадку – лінійно). Введемо коефіцієнти пропорційності μ nі μ p, які називають «рухомостями» носіїв заряду

і перепишемо формулу 2 у вигляді:

j = en n E + ep p E = n E+ p E = E.(4)

Тут  - електропровідність напівпровідника, а  n і  p- її електронна та дірочна складові, відповідно.

Як очевидно з (4) електропровідність напівпровідника визначається концентраціями вільних носіїв заряду у ньому та його рухливостями. Це буде справедливим і для електропровідності металів. Але в металахконцентрація електронів дуже велика
і залежить від температури зразка. Рухливістьелектронів у металах зменшується з температуроювнаслідок збільшення числа зіткнень електронів з тепловими коливаннями кристалічних грат, що і призводить до зменшення електропровідності металів зі зростанням температури. У напівпровідникаха основний внесок у температурну залежність електропровідності робить залежність від температури концентраціїносіїв заряду.

Розглянемо процес теплового збудження ( генерації) електронів із валентної зони напівпровідника в зону провідності. Хоча середня енергія теплових коливань атомів кристала
становить, наприклад, при кімнатній температурі всього 0,04 еВ, що набагато менше ширини забороненої зони більшості напівпровідників, серед атомів кристала будуть і такі, енергія коливань яких можна порівняти з g . При передачі енергії від цих атомів електронам останні переходять у зону провідності. Кількість електронів в інтервалі енергій від ε до ε + dε зони провідності можна записати як:

де
- Щільність енергетичних рівнів (6);

- ймовірність заселення рівня з енергією ε електроном ( функція розподілу Фермі). (7)

У формулі (7) символом F позначено т.зв. рівень фермі.У металах рівень Фермі – останній зайнятий електронамирівень при абсолютному нулі температури (див. Введення). Справді, f(ε ) = 1 при ε < Fі f(ε ) = 0 при ε > F (Рис.1).

Рис.1. Розподіл Фермі-Дірака; ступінчасте при температурі абсолютного нуля та «розмите» при кінцевих температурах.

У напівпровідниках,як ми побачимо надалі, рівень Фермі зазвичай знаходиться у забороненій зоні,тобто. на ньому не може бути електрон. Однак і в напівпровідниках при Т = 0 всі стани, що лежать нижче за рівень Фермі, заповнені, а стани вище за рівень Фермі – порожні. За кінцевої температури ймовірність заселення електронами рівнів з енергією ε > F вже не дорівнює нулю. Але концентрація електронів у зоні провідності напівпровідника все-таки набагато менше від кількості вільних енергетичних станів у зоні, тобто.
. Тоді в знаменнику (7) можна знехтувати одиницею та записати функцію розподілу у «класичному» наближенні:

. (8)

Концентрацію електронів у зоні провідності можна отримати, проінтегрувавши (5) по зоні провідності від її дна - Е 1 до вершини - Е 2 :

В інтегралі (9) за нуль відліку енергій прийнято дно зони провідності, а верхня межа замінена на
через швидке зменшення експоненційного множника зі зростанням енергії.

Після обчислення інтеграла отримаємо:

. (10)

Обчислення концентрації дірок у валентній зоні дають:

. (11)

Для напівпровідника, у складі якого немає домішок, т.зв. власногонапівпровідника, концентрація електронів у зоні провідності повинна дорівнювати концентрації дірок у валентній зоні ( умова електронейтральності). (Зазначимо, що таких напівпровідників у природі немає, але за певних температурах і певних концентраціях домішок можна знехтувати впливом останніх на властивості напівпровідника). Тоді, прирівнюючи (10) та (11), отримуємо для рівня Фермі у власному напівпровіднику:

. (12)

Тобто. при абсолютному нулі температур рівень Фермі в власномунапівпровіднику розташований точно посередині забороненої зони,і проходить поблизу середини забороненої зони при не дуже високих температурах, кілька зміщуючисьзазвичай у бік зони провідності(ефективна маса дірок, як правило, більша за ефективну масу електронів (див. Введення). Тепер, підставляючи (12) в (10), для концентрації електронів отримаємо:

. (13)

Аналогічне співвідношення вийде і для концентрації дірок:

. (14)

Формули (13) і (14) з достатньою точністю дозволяють розрахувати концентрації носіїв заряду в власному напівпровіднику.Значення концентрації, обчислені за цими співвідношеннями, називаються власнимиконцентраціями. Наприклад, для германію Ge, кремнію Si та арсеніду галію GaAs при Т=300 К вони становлять відповідно. Практично ж, для виготовлення напівпровідникових приладів застосовуються напівпровідники з значно вищими концентраціями носіїв заряду (
). Більша, порівняно з власною, концентрація носіїв обумовлена введенням у напівпровідник електроактивних домішок(Існують ще т.зв. амфотернідомішки, введення яких у напівпровідник не змінює концентрацію носіїв у ньому). Домішні атоми залежно від валентності та іонного (ковалентного) радіусу можуть по-різному входити в кристалічні ґрати напівпровідника. Одні з них можуть замінювати атом основної речовини у вузліграти – домішки заміщення.Інші розташовуються переважно у міжвузляхграти – домішки впровадження.Різноманітність та його впливом геть властивості напівпровідника.

Припустимо, що в кристалі з чотиривалентних атомів кремнію частина атомів Si заміщена атомами пятивалентного елемента, наприклад, атомами фосфору Р. Чотири валентні електрони атома фосфору утворюють ковалентний зв'язок з найближчими атомами кремнію. П'ятий валентний електрон атома фосфору буде пов'язаний з іонним кістяком кулонівською взаємодією.В цілому ця пара з іону фосфору із зарядом +е і пов'язаного з ним кулонівською взаємодією електрона нагадуватиме атом водню, внаслідок чого такі домішки називаються ще й водородоподібнимидомішками. Кулонівська взаємодіяу кристалі буде значно ослабленочерез електричну поляризацію навколишніх домішковий іон сусідніх атомів. Енергію іонізаціїтакого домішкового центру можна оцінити за такою формулою:

, (15)

де - Перший потенціал іонізації для атома водню - 13,5 еВ;

χ – діелектрична проникність кристала ( χ =12 для кремнію).

Підставивши в (15) ці значення та значення ефективної маси електронів у кремнії - m n = 0,26 m 0 отримаємо для енергії іонізації атома фосфору в кристалічній решітці кремнію ε I = 0,024 еВ, що значно менше ширини забороненої зони і навіть менше середньої теплової енергії атомів при кімнатній температурі. Це означає, по-перше, що домішкові атоми набагато легше іонізувати, ніж атоми основної речовини і, по-друге, - при кімнатній температурі ці домішкові атоми будуть іонізовані. Поява в зоні провідності напівпровідника електронів, що перейшли туди з домішкових рівнів,не пов'язане з утворенням дірки у валентній зоні. Тому концентрація основних носіївструму - електронів у даному зразку може на кілька порядків перевищувати концентрацію неосновних носіїв- Дірок. Такі напівпровідники називаються електроннимиабо напівпровідниками n -Типу,а домішки, що повідомляють напівпровіднику електронну провідність, називаються донорами. Якщо кристал кремнію ввести домішок атомів тривалентного елемента, наприклад, - бору В, то один з ковалентних зв'язків домішкового атома з сусідніми атомами кремнію залишається незавершеною.Захоплення цього зв'язку електрона з однієї з сусідніх атомів кремнію призведе до появи дірки у валентної зоні, тобто. у кристалі спостерігатиметься діркова провідність (напівпровідник р -Типу). Домішки, що захоплюють електрон, називаються акцепторами.На енергетичній діаграмі напівпровідника (рис.2) донорний рівень розміщується нижче дна зони провідності на величину енергії іонізації донора, а акцепторний – вище стелі валентної зони на енергію іонізації акцептора. Для водневих донорів і акцепторів, якими є в кремнії елементи V і III груп Періодичної системи Менделєєва, енергії іонізації приблизно рівні.

Рис.2. Енергетичні діаграми електронного (ліворуч) та дірочного (праворуч) напівпровідників. Показано положення рівнів Фермі за температур, близьких до абсолютного нуля.

Обчислення концентрації носіїв заряду в напівпровіднику з урахуванням домішкових електронних станів – завдання досить непросте і аналітичне рішення її можна отримати лише у окремих випадках.

Розглянемо напівпровідник n-типу при температурі,достатньо низькою.І тут можна знехтувати своєї провідністю. Усі електрони в зоні провідності такого напівпровідника – це електрони, що перейшли туди з донорних рівнів:

. (16)

Тут
- Концентрація донорних атомів;

- Число електронів, що залишилися ще на донорних рівнях :

. (17)

З урахуванням (10) та (17) рівняння 16 запишемо у вигляді:

. (18)

Вирішуючи це квадратне рівняння щодо
, отримаємо

Розглянемо рішення рівняння за дуже низьких температур (на практиці – це зазвичай температури близько десятків градусів Кельвіна), коли другий доданок під знаком квадратного кореня набагато більше одиниці. Нехтуючи одиницями, отримаємо:

, (20)

тобто. за низьких температур рівень Фермі розташований приблизно посередині між донорним рівнем і дном зони провідності (при Т = 0К – точно посередині). Якщо підставити (20) у формулу для концентрації електронів (10), можна бачити, що концентрація електронів зростає з температурою за експоненційним законом

. (21)

Показник експонентів
вказує на те, що в даному діапазоні температур концентрація електронів зростає за рахунок іонізації донорних домішок

За більш високих температур, - за таких, коли власна провідність ще незначна, але виконується умова
, другий доданок під коренем буде менше одиниці та використовуючи співвідношення

+…., (22)

отримаємо положення рівня Фермі

, (23)

а для концентрації електронів

. (24)

Усі донори вже іонізовані, концентрація носіїв у зоні провідності дорівнює концентрації донорних атомів – це т.зв. область виснаження домішок.При ще вищих температурахвідбувається інтенсивний закид у зону провідності електронів з валентної зони (іонізація атомів основної речовини) і концентрація носіїв заряду знову починає зростати за експоненційним законом (13), характерним для області із власною провідністю.Якщо уявити залежність концентрації електронів від температури в координатах
, вона виглядатиме у вигляді ламаної лінії, що складається з трьох відрізків, відповідних розглянутим вище температурним діапазонам (рис.3).

Р іс.3. Температурна залежність концентрації електронів у напівпровіднику-типу.

Аналогічні співвідношення з точністю до множника виходять при обчисленні концентрації дірок у напівпровіднику р-типу.

При дуже високих концентраціях домішок (~10 18 -10 20 см -3) напівпровідник перетворюється на т.зв. виродженестан. Домішки рівні розщеплюються в домішкову зону,яка може частково перекритися із зоною провідності (в електронних напівпровідниках) або з валентною зоною (у діркових). У цьому концентрація носіїв заряду фактично перестає залежати від температури до дуже високих температур, тобто. напівпровідник поводиться як метал ( квазіметалічна провідність). Рівень Фермі у вироджених напівпровідниках буде або дуже близько від краю відповідної зони, або навіть заходити всередину дозволеної енергетичної зони, так, що і зонна діаграма такого напівпровідника буде схожа на зонну діаграму металу (див. рис. 2а Введення). Для розрахунку концентрації носіїв заряду у таких напівпровідниках функцію розподілу слід брати над вигляді (8), як це робилося вище, а вигляді квантової функції (7). Інтеграл (9) у цьому випадку обчислюється чисельними методами та носить назву інтеграла Фермі-ДіракаТаблиці інтегралів Фермі-Дірака для значень наведені, наприклад, у монографії Л.С. Стільбанса.

При
ступінь виродження електронного (діркового) газу настільки висока, що концентрація носіїв не залежить від температури до температури плавлення напівпровідника. Такі «вироджені» напівпровідники використовують у техніці виготовлення низки електронних приладів, серед яких найважливішими є інжекційні лазери та тунельні діоди.

Певний, хоч і менш суттєвий внесок, у температурну залежність електропровідності вноситиме температурна залежність рухливостіносіїв заряду. Рухливість, «макроскопічне» визначення якої дано нами в (3), може бути виражена через «мікроскопічні» параметри – ефективну масу та час релаксації імпульсу – середній час вільного пробігу електрона (дірки) між двома послідовними зіткненнямиз дефектами кристалічних ґрат:

, (25)

а електропровідність з урахуванням співвідношень (4) і (25) запишеться, як:

. (26)

Як дефекти – центрів розсіюванняможуть виступати теплові коливання кристалічних ґрат – акустичні та оптичні фонони(див. методич. посібник «Структура і динаміка ...»), домішкові атоми– іонізовані та нейтральні, зайві атомні площини у кристалі – дислокації, поверхнякристала та межі зерену полікристалах і т.д. Сам процес розсіювання носіїв заряду на дефектах може бути пружнимі непружним -у першому випадку відбувається лише зміна квазіімпульсу електрона (дірки); по-друге – зміна і квазіімпульсу та енергії частки. Якщо процес розсіювання носія заряду на дефектах решітки – пружний, той час релаксації імпульсу можна представити у вигляді статечної залежності від енергії частки:
. Так, для найважливіших випадків пружного розсіювання електронів на акустичних фононах та іонах домішки.

(27)

і
. (28)

Тут
- величини, що не залежать від енергії;
- Концентрація іонізованихдомішок будь-якого типу.

Усереднення часу релаксації здійснюється за такою формулою:

;
. (29)

З урахуванням (25)-(29) отримаємо:

. (30)

Якщо в якомусь діапазоні температур вклади в рухливість носіїв, що відповідають різним механізмам розсіювання, можна порівняти за величиною, то рухливість розраховуватиметься за формулою:

, (31)

де індекс i відповідає певному механізму розсіювання: на домішкових центрах, акустичних фононах, оптичних фононах і т.д.

Типова залежність рухливості електронів (дірок) у напівпровіднику від температури показано на рис.4.

Рис.4. Типова залежність від температури рухливості носіїв заряду напівпровіднику.

При дуже низькихтемпературах (в районі абсолютного нуля) домішки ще не іонізовані, розсіювання відбувається на нейтральнихдомішкових центрах і рухливість практично не залежитьвід температури (рис.4, ділянку а-б). З підвищенням температури концентрація іонізованих домішок зростає за експоненційним законом, а рухливість падаєзгідно (30) – ділянка б-в. В області виснаження домішокконцентрація іонізованих домішкових центрів не змінюється, і рухливість зростає, як
(Рис.4, в-г). При подальшому підвищенні температури починає переважати розсіювання на акустичних та оптичних фононах і рухливість знову знижується (г-д).

Оскільки температурна залежність рухливості переважно – статечна функція температури, а температурна залежність концентрації – переважно експоненційна, те й температурний хід електропровідності в основних рисах повторюватиме температурну залежність концентрації носіїв заряду. Це дає можливість досить точно визначати за температурною залежністю електропровідності найважливіший параметр напівпровідника – ширину його забороненої зони, що пропонується зробити в даній роботі.

Для напівпровідників з одним носієм заряду питома електропровідність γ визначається виразом

де n - Концентрація вільних носіїв заряду, м -3; q - величина заряду кожного з них; μ − рухливість носіїв заряду, що дорівнює середньої швидкості носія заряду (υ) до напруженості поля (E): υ/E, м 2 /(B∙c).

На малюнку 5.3 представлено температурну залежність концентрації носіїв.

В області низьких температур ділянка залежності між точками а і б характеризує лише концентрацію носіїв, зумовлену домішками. Зі збільшенням температури кількість носіїв, що поставляються домішками, зростає, доки вичерпаються електронні ресурси домішкових атомів (точка б). На ділянці б-в домішки вже виснажені, а переходу електронів основного напівпровідника через заборонену зону ще виявляється. Ділянку кривої з постійною концентрацією носіїв заряду називають областю виснаження домішок. Надалі температура зростає настільки, що починається швидке зростання концентрації носіїв внаслідок переходу електронів через заборонену зону (дільниця в-г). Нахил цієї ділянки характеризує ширину забороненої зони напівпровідника (тангенс кута нахилу дає значення ΔW). Нахил ділянки а-б залежить від енергії іонізації домішок ΔW п.

Мал. 5.3. Типова залежність концентрації носіїв заряду

у напівпровіднику від температури

На малюнку 5.4 представлено температурну залежність рухливості носіїв заряду для напівпровідника.

Мал. 5.4. Температурна залежність рухливості носіїв

заряду в напівпровіднику

Збільшення рухливості вільних носіїв заряду з підвищенням температури пояснюється тим, що вища температура, тим більша теплова швидкість руху вільного носія υ. Однак при подальшому збільшенні температури посилюються теплові коливання грат і носії заряду починають все частіше з нею стикатися, рухливість падає.

На малюнку 5.5 представлено температурну залежність питомої електропровідності для напівпровідника. Ця залежність складніша, тому що електропровідність залежить від рухливості та числа носіїв:

На ділянці АБ зростання питомої електропровідності зі збільшенням температури обумовлено домішкою (за нахилом прямої на цій ділянці визначають енергію активації домішок W п). На ділянці БВ настає насичення, кількість носіїв не зростає, а провідність падає через зменшення рухливості носіїв заряду. На ділянці ВГ зростання провідності обумовлено збільшенням числа електронів основного напівпровідника, що подолали заборонену зону. По нахилу прямий цьому ділянці визначають ширину забороненої зони основного напівпровідника. Для наближених розрахунків можна скористатися формулою

де ширина забороненої зони W обчислюється еВ.

Мал. 5.5. Температурна залежність питомої електропровідності

для напівпровідника

У лабораторній роботі досліджується кремнієвий напівпровідник.

Кремній, Як і германій, відноситься до IV групи таблиці Д.І. Менделєєва. Він є одним із найпоширеніших елементів у земній корі, його вміст у ній приблизно дорівнює 29%. Однак у вільному стані у природі він не зустрічається.

Технічний кремній (близько одного відсотка домішок), що отримується відновленням з діоксиду (SiO 2) в електричній дузі між графітовими електродами, широко застосовується в чорній металургії як легуючий елемент (наприклад, електротехнічної сталі). Технічний кремній як напівпровідник використаний не може. Він є вихідною сировиною для виробництва кремнію напівпровідникової чистоти, вміст домішок у якому має бути меншим за 10 -6 %.

Технологія отримання кремнію напівпровідникової чистоти є дуже складною, вона включає кілька етапів. Кінцеве очищення кремнію може виконуватися методом зонної плавки, при цьому виникає ряд труднощів, оскільки температура плавлення кремнію дуже висока (1414 ° С).

Нині кремній є основним матеріалом виготовлення напівпровідникових приладів: діодів, транзисторів, стабілітронів, тиристорів тощо. У кремнію верхня межа робочої температури приладів може становити в залежності від ступеня очищення матеріалів 120-200 про, що значно вище, ніж у германію.

Напівпровідникові називають матеріали, основною особливістю яких є залежність питомої електропровідності від зовнішніх енергетичних впливів, а також від концентрації та типу домішок.

Якісні відмінності властивостей напівпровідників та про-
водників визначаються типом їх хімічних зв'язків. У металах валентні електрони атомів кристалічних ґрат є частиною колективу рівноцінних носіїв заряду, званого електронним газом (металевий зв'язок). Кількість цих носі-
телів заряду , що відповідає числу атомів в еди-
ніці об'єму кристалічних ґрат. Помітно змінити таку концентрацію носіїв заряду впливом зовнішнього фактора (температурою, опроміненням, введенням домішок, деформацією тощо) неможливо. Звідси всі особливості провідності провідників: позитивний температурний коефіцієнт питомого опору, незалежність концентрації носіїв заряду від домішок у ґратах, надпровідність тощо.

У напівпровідниках всі валентні електрони атомів беруть участь в утворенні ковалентного (або іонно-ковалентного) насиченого хімічного зв'язку. При напівпровідникових кристалах немає жодного квазивільного носія заряду, здатного взяти участь у спрямованому русі при дії зовнішнього фактора, тобто при температурі абсолютного нуля напівпровідник не володіє електропровідністю. Міцність ковалентного (іонно-ковалентного) зв'язку (енергія зв'язку) відповідає ширині забороненої зони напівпровідника. При температурах, відмінних від 0 К, частина носіїв заряду, володіючи тепловою енергією, здатна розірвати хімічний зв'язок, що призводить до утворення рівної кількості електронів у зоні провідності та дірок у валентній зоні. заряду їхньої концентрації визначаються співвідношенням

де і - ефективні щільності станів, наведені відповідно до дна зони провідності до стелі вільної зони.

Для управління типом електропровідності та значенням провідності напівпровідника у вузли його кристалічної решітки вводять у малій концентрації домішки з валентністю,
відрізняється у більшу чи меншу сторону від валентності основних атомів напівпровідника. Таким домішкам у забороненій зоні напівпровідника відповідають додаткові енергетичні рівні: донорні – поблизу дна зони провідності та акцепторні – поблизу стелі валентної зони. Енергія, необхідна для термогенерації носіїв заряду, обумовлених присутністю домішок (енергія іонізації домішок) у 50-100 разів менша за ширину забороненої зони:

Процес термогенерації домішкових носіїв також є імовірнісним і описується формулами

де - концентрація донорних домішок, а - акцепторних домішок Поки температура низька, не всі домішки іонізовані та концентрація носіїв розраховується за формулами (4). Однак, у типових випадках, вже при температурі значно нижче за кімнатну (близько -60 0 С) всі домішки виявляються іонізовані і при подальшому нагріванні концентрація не змінюється і дорівнює концентрації введених домішок (кожен атом домішки «дав» по одному носію заряду. Тому в деякому діапазоні температур концентрація носіїв практично не залежить від температури (область IIна рис.4). Однак при значному підвищенні температури (для кремнію, наприклад, близько 120 0 С), починається розрив власних зв'язків за механізмом, представленим формулою (3) і концентрація носіїв заряду починає різко зростати. Розглянуте ілюструє рис. 4, на якому представлені температурні залежності концентрацій носіїв заряду в напівлогарифмічному масштабі від зворотної температури (зручність такого масштабу стає очевидним після логарифмування виразів (3) та (4)).

Тут – температура виснаження домішки – температура переходу до власної провідності. Формули для рас

Мал. 4. Температурна залежність концентрації основних носіїв заряду у домішковому напівпровіднику n- Типу. I- область слабкої іонізації домішки (домішкової електропровідності) (); II- область виснаження домішки (); III- Область власної провідності ().

подружжя цих температур наведено нижче. В області .IIIгенерація носіїв заряду відбувається відповідно до формули (3). При більш низьких температурах цей процес дуже малий, і тому в області .Iгенерація носіїв визначається лише формулою (4). Як випливає з виразів (3) і (4), кут тим більший, чим більша ширина забороненої зони напівпровідника, а кут тим більше, чим більша енергія іонізації донорів (акцепторів). Враховуючи що , укладаємо, що > .

Квазивільні носії заряду (і електрони та дірки), володіючи середньою тепловою енергією, здійснюють хаотичний рух з тепловою швидкістю. , переважно відповідно до прикладеної дії. Якщо цією зовнішньою дією є електричне поле, виникає спрямований рух носіїв заряду - дрейф. При цьому щільність дрейфового струму

де – питома електропровідність, – концентрація носіїв заряду, – швидкість спрямованого руху під впливом зовнішнього електричного поля напруженістю Е.

Як правило, коли виконується закон Ома, призначення Е -лише спрямовувати носії заряду, не змінюючи їхню енергію (поля слабкі). Таким чином, швидкість руху носіїв заряду залишається рівною, а швидкість дрейфу, що характеризує ефективність спрямованого руху колективу носіїв заряду, залежить від того, як сильно заважають цьому руху різні дефекти в кристалічній решітці. Параметр, що характеризує ефективність спрямованого руху носіїв заряду, називається рухливістю:

Очевидно, що більше в кристалічній решітці дефектів, що беруть участь у розсіянні носіїв заряду, то менше . Під розсіюванням розуміють зміни квазіімпульсу спрямованого руху носіїв заряду, зумовленого впливом дефектів. Крім того, оскільки в кристалі завжди присутні різні типи дефектів (теплові коливання атомів, домішки тощо), то рухливість носія заряду «контролюється» найефективнішим механізмом розсіювання:

де m Σ - результуюча рухливість носіїв заряду у напівпровіднику; m i - рухливість, обумовлена iмеханізмом розсіювання. Так, наприклад, в області високих температур m Σ контролюється вкладом у розсіювання теплових коливань решітки і зі зростанням температури зменшується. В області низьких температур, коли внесок гратового розсіювання в m Σ малий, носії заряду, що мають малу , тривалий час опиняються в полі кулонівських сил (тяжіння або відштовхування) іонізованих домішок. Саме цей механізм розсіювання «контролює» m Σ у напівпровідниках за низьких температур. Тому рухливість носіїв заряду в залежності від температури визначаються напівемпіричним співвідношенням виду:

де aі b- Постійні величини.

Якісна залежність lnm Σ(T) у кристалах виду (7) представлена на рис. 5. На цьому малюнку криві 1 та 2 ілюструють той факт, що зростання концентрації домішок ( Nпр1<Nпр2) зменшується m? в області низьких температур, залишаючи незмінним механізм гратового розсіювання в кристалі.

Ґратове розсіювання на акустичних фононах переважає при T> 100 K. При цьому в області виснаження домішки, коли можна покласти

Мал. 5. Температурна залежність рухливості носіїв заряду
у напівпровідниках з різними концентраціями домішки. N пр1

питома електропровідність може зменшуватися зі збільшенням температури за рахунок зменшення рухливості носіїв m Σ ( T) через розсіювання носіїв заряду на акустичних фононах.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ РОЗРАХУНОВО-ГРАФІЧНОЇ

РОБОТИ

КАЗАНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ЕНЕРГЕТИЧНИЙ

УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра фізики

Реферат

Температурна залежність провідності напівпровідника

Виконав: Романов А.В. - Група ЗЕС-1-04___________ (дата, підпис)

Перевірив: ________________________________________(дата, підпис)

Домашня адреса:

м. Єлабуга

вул. Окружне шосе буд. 35 кв. 69

Дата надсилання:

Казань 2006

Напівпровідники - це речовини, що мають при кімнатній температурі питому електричну провідність в інтервалі від 10 -8 до 10 6 Ом -1 м -1 , яка сильно залежить від виду і кількості домішки і структури речовини, а також від зовнішніх умов: температури, освітлення, зовнішніх електричних та магнітних полів, опромінення. Електропровідність твердих тіл у сучасній фізиці пояснюється з урахуванням зонної теорії. На рис. I показані спрощені діаграми енергетичних зон власного, акцепторного та донорного напівпровідників.

Кристали напівпровідників неминуче в реальних умовах мають певну кількість сторонньої домішки, навіть якщо потрібно отримати матеріал дуже високого ступеня чистоти. Домішки також спеціально вводять або під час зростання кристалів з метою отримати напівпровідник із заданими електричними властивостями, або - при виготовленні приладових структур. Такі напівпровідники називаються легованими чи домішковими. Атоми домішки, відрізняючись від атомів основного кристала валентністю, створюють рівні дозволених енергій електронів у забороненій зоні, які можуть поставляти електрони в зону провідності, або приймати на себе електрони з валентної зони. Ці процеси ми розглянемо надалі. У цьому розділі нас цікавитиме ідеалізована модель напівпровідника, в якому відсутні домішки. Такі напівпровідники називаються власними.

При нагріванні провідність напівпровідників різко зростає. Температурна залежність провідності sвласного напівпровідника визначається зміною концентрації nі рухливості електронів m - і дірок m + від температури:

s = e ( n - m - + n + m +) (1)

Рухливість носіїв заряду в напівпровідниках залежить від температури порівняно слабко і з її зростанням зменшується згідно із законом m~T –3/2 . Це тим, що з підвищенням температури зростає кількість зіткнень в одиницю часу, унаслідок чого зменшується швидкість спрямованого руху носіїв заряду на полі одиничної напруженості.

Розглянемо донорний напівпровідник. Внаслідок малої концентрації електронів провідності напівпровідники підпорядковуються класичній статистиці Максвелла-Больцмана. Тому в області низьких температур для концентрації електронів у зоні провідності з одним видом домішки маємо:

n = A T 3/2 e - D W / kT , (2)

де А - коефіцієнт, що не залежить від Т; DW - енергія активації домішки, тобто енергетичний інтервал між донорним рівнем та нижнім краєм зони провідності (рис. Iв)К - постійна Больцмана.

Розглянемо спрощену зонну модель свого напівпровідника, зображену на рис. 1. Цією моделлю ми в основному користуватимемося надалі. У цій моделі енергія електронів позитивна і відраховується вгору по осі ординат. Енергія дірок негативна та відраховується вниз. Під віссю абцис маються на увазі просторові координати, а також по цій осі, залежно від умов завдання, можуть відкладатися температура, концентрація домішки, вказуватися напрямок електричного поля. Валентна зона та зона провідності обмежені прямими, що позначають: E v – стеля валентної зони; E c – дно зони провідності. Вибір початку відліку енергії електрона довільний, зазвичай, вона відраховується від стелі валентної зони. Ширина забороненої зони визначається як різницю E g = E c - E v.

Розглянемо тепер у чому полягає фізична причина різкої відмінності у температурній залежності провідності напівпровідників та металів.

Мал. 1. Проста зонна модель власного напівпровідника: E v – стеля валентної зони; E c – дно зони провідності.

E g = E c – E v – ширина забороненої зони. G - генерація електронно-діркової пари, R - рекомбінація електронно-діркової пари.

Хвилястими стрілками показані процеси поглинання та випромінювання фотона при світловій генерації та випромінювальної рекомбінації відповідно.

При температурі Т > 0 середня енергія фонону дорівнює (k - Постійна Больцмана), наприклад, при кімнатній температурі Т = 300 К вона дорівнює 0,039 еВ. Однак через розподіл Максвелла - Больцмана існує кінцева ймовірність того, що фонон має енергію Eg, яка може значно перевищувати середню, і ця ймовірність пропорційна. Електрони постійно обмінюються енергією з фононами у процесі зіткнень. Природно, в стаціонарних умовах електронна підсистема кристала в цілому знаходиться в тепловій рівновазі з коливаннями решітки, проте окремі електрони можуть мати енергію набагато більшу за середню. Тепловим збудженням електрона називається акт передачі енергії від фонону електрону такий, що відбувається розрив ковалентного зв'язку.

Якщо електрон отримає від фонону енергію більше або рівну Eg, він може "закинутися" з валентної зони в зону провідності, де він стає вільним і може брати участь у перенесенні заряду при додатку зовнішнього електричного поля. Одночасно з переходом електрона в зону провідності у валентній зоні утворюється Івільна дірка, яка також бере участь в електропровідності. Таким чином, у власних напівпровідниках вільні електрони та дірки народжуються парами, цей процес називається генерацією електронно-діркових пар (рис. 1). Поруч із відбувається зворотний процес - взаємна анігіляція електронів і дірок, коли електрон повертається у валентну зону. Цей процес називається рекомбінацією електронно-діркових пар. Число генерованих (рекомбінованих) пар носіїв заряду в одиниці обсягу в одиницю часу називається темпом генерації G (рекомбінації - R). У стаціонарних умовах темпи теплової генерації та рекомбінації рівні, тобто G = R (1)

Зауважимо, що генерація електронно-діркових пар може відбуватися і при опроміненні напівпровідника світлом частотою v, такою, що енергія фотона задовольняє умову

При світловій генерації електрон поглинає фотон (рис. 1). При зворотному процесі рекомбінації енергія, що вивільнилася, рівна Eg, може або передаватися від електрона назад решітці (фонону), або нестися фотоном. Можуть також одночасно народжуватися фонони та фотони, але тоді, в силу закону збереження, їхня парціальна енергія менша за Eg. Якщо енергія уноситься фотоном, цей процес називається випромінювальної рекомбінацією. Світлова генерація та випромінювальна рекомбінація лежать в основі роботи цілого класу оптоелектронних напівпровідникових приладів – джерел та приймачів випромінювання, які ми в даному курсі не маємо можливості розглядати.

Вочевидь, що з теплової генерації вірогідні переходи електронів з однієї з верхніх рівнів валентної зони, якщо вони зайняті електронами, однією з нижніх рівнів зони провідності, - якщо вони вільні, оскільки таких переходів потрібна менша энергия. Звідси випливає, що темп генерації G пропорційний: числу можливих зайнятих станів електронів N v поблизу стелі валентної зони; числу незайнятих рівнів N c поблизу дна зони провідності (фізичний зміст N v і N c буде розглянуто надалі) і ймовірності електрону мати енергію E g:

де, a - коефіцієнт пропорційності, що залежить від частоти зіткнень фононів та електронів. З іншого боку, темп рекомбінації R пропорційний імовірності " зустрічі " носіїв, тобто. добутку концентрацій електронів n та дірок р (g - коефіцієнт пропорційності):

оскільки для свого напівпровідника n = p. У стаціонарному випадку має місце рівність (2), тоді

Провідність кристала згідно (6) пропорційна концентрації електронів та рухливості. Як видно з виразу (7) концентрація n у власному напівпровіднику експоненційно зростає зі збільшенням температури, водночас температурна залежність рухливості у провідності грає менш помітну роль. Таким чином, провідність власного напівпровідника в першому наближенні зростає з температурою за таким самим законом, що і концентрація електронів і дірок (поки не стане помітним розсіювання носіїв заряду на теплових коливаннях решітки). Тому можна записати:

(8)

Отже, з феноменологічного погляду напівпровідники від металів тим, що у напівпровідниках з підвищенням температури провідність дуже швидко зростає. Фізична причина цього полягає у збільшенні темпу теплової генерації електронно-діркових пар зі зростанням температури. Якщо прологарифмувати вираз (8), то воно набуде вигляду

Отже, якщо на графіці по осі ординат відкладати lns, а по осі абцис - зворотну температуру, то отримаємо пряму з нахилом Eg/2k, як показано на рис. 2. Таким чином, знаючи нахил цієї прямої можна визначити найважливішу характеристику напівпровідника – ширину забороненої зони. Визначається таким чином величину Eg називають термічною шириною забороненої зони, оскільки її ще визначають і з оптичних вимірювань спектрів поглинання випромінювання і обчислюють Eg, на підставі виразу (9).

де k- Постійна Больцмана; m-Ефективна маса електронів або дірок.