Курс математики 5-6 класів є органічною частиною всієї шкільної математики. Тому основною вимогою до його побудови є структурування змісту на єдиній ідейній основі, яка, з одного боку, є продовженням та розвитком ідей, реалізованих під час навчання математики у початковій школі, і, з іншого боку, служить подальшому вивченню математики у старших класах.

Продовжується розвиток всіх змістовно-методичних ліній курсу початкової математики: числової, алгебраїчної, функціональної, геометричної, логічної, аналіз даних. Вони реалізовані на числовому, алгебраїчному, геометричному матеріалі.

Останнім часом суттєво переглянуто вивчення геометрії. Метою вивчення геометрії у 5-6 класах є пізнання навколишнього світу мовою та засобами математики. За допомогою побудов та вимірювань учні виявляють різні геометричні закономірності, які формулюють як речення, гіпотезу. Доказовий аспект геометрії у проблемному плані – учням прищеплюється думка, що експериментальним шляхом можна відкрити багато геометричні факти, але ці факти стають математичними істинами тільки тоді, коли вони встановлені засобами, прийнятими в математиці.

Таким чином, геометричний матеріал у цьому курсі може бути охарактеризований як наочно-діяльнісна геометрія. Навчання організується як процес інтелектуально-практичної діяльності, спрямованої на розвиток просторових уявлень, образотворчих умінь, розширення геометричного кругозору, у ході якого найважливіші властивості геометричних фігур виходять за допомогою досвіду та здорового глузду.

Досить новою в курсі 5-6 класів є змістова лінія. Аналіз даних », яка поєднує у собі три напрями: елементи математичної статистики, комбінаторику, теорію ймовірностей. Введення цього матеріалу продиктовано життям. Його вивчення спрямовано формування у школярів як загальної імовірнісної інтуїції, і конкретних способів оцінки даних. Основне завдання у цій ланці – формування відповідного словника, навчання найпростішим прийомам збору, подання та аналізу інформації, навчання розв'язання комбінаторних завдань перебором можливих варіантів, створення елементарних уявлень про частоту та ймовірність випадкових подій.

Проте ця лінія присутня не у всіх сучасних шкільних підручниках для 5-6 класів. Особливо докладно та яскраво представлена ​​дана лінія у підручниках.

Алгебраїчний матеріал, включений до курсу математики 5-6 класів, є основою для систематичного вивчення алгебри у старших класах. Можна відзначити такі особливості вивчення цього матеріалу алгебри:

1. Вивчення алгебраїчного матеріалу засноване на науковій основі з урахуванням вікових особливостей та можливостей учнів.

2. Формування алгебраїчних понять та вироблення відповідних умінь та навичок складають єдиний процес, побудований на детально розробленій системі вправ.

3. Система вправ служить надійним засобом оволодіння сучасним математичним мовою, оскільки ця мова широко застосовується при формулюванні різних завдань. Наприклад, «Докажіть, що ця нерівність вірна: 29 2<1000».

4. Удосконалення обчислювальних навичок органічно пов'язане з вивченням матеріалу алгебри.

У 5-6 класах наголошується на розвиток обчислювальної культури, зокрема, на навчання евристичним прийомам прикидки та оцінки результатів дій, перевірки їх на правдоподібність. Підвищено увагу до арифметичних прийомів рішення текстових завдань як засобу навчання методам міркування, вибору стратегії вирішення, аналізу ситуації, зіставленню даних і, зрештою, розвитку мислення учнів.

Точесні перетворення алгебраїчних виразів, що вивчаються в цей час, зі змінними широко застосовуються для функціональної пропедевтики. Значне місце у курсі математики середньої школи приділяється матеріалу функціонального характеру. Визначення функції вводиться у 7 класі, а функціональна пропедевтика починається з 5 класу, де розглядається поняття змінної, вирази зі зміною, формули, що задає залежності між деякими величинами.

Використання літерних позначень дозволяє порушувати питання про побудову формул. Зв'язки між величинами задаються також табличним та графічним способами, і діти тренуються у переході від однієї форми завдання залежності до іншої. Систематична робота з конкретними залежностями забезпечує готовність дітей до вивчення функцій у старших класах.

Методи . Курс математики 5-6 класів побудовано індуктивно. Зміст навчального матеріалу змушує використовувати методи, які б формуванню як продуктивної, і репродуктивної діяльності.

У 5-6 класах найчастіше застосовують такі методи навчання:

· Пояснювально-ілюстративний. Цілий ряд понять математики 5-6 класів можна ввести даним методом. За допомогою його може бути вивчений матеріал, який є логічним продовженням та розширенням основного матеріалу. Цим методом можна вивчати конкретні алгоритми. Також вивчаються пояснювально-ілюстративним методом відомості, якими можна скористатися як готовими (сформованими в початковій школі) знаннями, але такими, що отримують нове застосування. Мета вивчення матеріалу пояснювально-ілюстративним методом – довести знання правил, законів, алгоритмів тощо. рівня навички.

· Частково-пошуковий та проблемний методи. Основні поняття курсу мають бути вивчені методами, які б забезпечували творчий (продуктивний) характер діяльності учнів. До таких методів, цілком застосовних у 5-6 класах, можна віднести частково-пошуковий. Цим методом можуть бути вивчені поняття: змінна, правильна та неправильна нерівність тощо.

Урок . Особливості предмета математики 5-6 класів (майже кожному уроці необхідно вивчати нові факти з предмета), вимога програми, темп вивчення матеріалу призвели до того, що найпоширеніший тип уроку цих класах – комбінований.

Перелічимо ще деякі особливості навчання математики у 5-6 класах:

· На початку вивчення математики в 5 класі учні повторюють відомі їм з 1-4 класів поняття, але повторення це ведеться на новому рівні, із залученням математичної термінології та символіки. Робиться це у тому, щоб закласти основи математичної мови, основи математичної культури.

· У курсі 5-6 класів часто вдаються при викладі арифметики та почав алгебри до геометричних визначень за допомогою координатної прямої або променя, що дозволяє зробити навчання більш наочним, а отже, більш доступним та зрозумілим для учнів. Подібним чином, наприклад, вивчається порівняння звичайних та десяткових дробів.

· Однією з особливостей даного курсу є лінійно-концентричний виклад матеріалу, відповідно до якого учні неодноразово повертаються до всіх принципових питань, піднімаючись у кожному наступному проході нового рівня.

Приклад, щодо теми «Десятичні дроби і відсотки» відбувається перехід від безлічі цілих неотрицательных чисел до безлічі раціональних неотрицательных; при цьому навчання будується з опорою на відомі учням алгоритми дій з натуральними числами, постійно використовуються знання та вміння, отримані раніше.

· Перша складність, з якою зустрічаються п'ятикласники, - робота з пояснювальним текстом підручника. Причина цього – недостатня техніка читання в деяких дітей, малий словниковий запас, а також те, що в підручниках початкової школи такі об'ємні тексти не зустрічалися.

Протягом усього часу навчання у 5-х та 6-х класах вчителю математики необхідно систематично розвивати у дітей вміння читати, розуміти текст, працювати з ним. Ця робота є необхідною базою для успішного вивчення систематичних курсів алгебри та геометрії у наступних класах.

· Вивчення математики потребує активних розумових зусиль. Дуже важко підтримувати довільну увагу учнів протягом уроку. Напружена розумова діяльність, велика кількість однотипних і рутинних обчислень або алгебраїчних перетворень швидко втомлює школярів. Існує універсальний спосіб підтримування робочого тонусу учнів: перемикання з однієї виду навчальної діяльності в інший. Але можна скористатися і порадою Блеза Паскаля: «Предмет математики настільки серйозний, що корисно не упускати випадків робити його трохи цікавим». Ця порада особливо актуальна під час навчання математики в 5-6 класах. Втім, це теж один із різновидів перемикання.

2.4 Особливості формування математичних понять у 5-6 класах

Будь-яке поняття, зокрема і математичне, є абстракцією від багатьох конкретних об'єктів, які описуються ним. У понятті відображаються стійкі властивості об'єктів, що вивчаються, явищ. Ці властивості повторюються в усіх об'єктів, які поєднуються поняттям. Але кожен реальний об'єкт має деякі інші властивості, властиві лише йому. Відмінність у несуттєвих властивостях лише відтіняє, підкреслює суттєві.

Якщо початкових класах навчання ведеться переважно на наочно образному рівні мислення, то 5-6 класах глибше розвивається словесно-логічне мислення. Змістом такого мислення є поняття, сутність яких «вже зовнішні, конкретні, наочні ознаки предметів та його відносини, а внутрішні, найбільш істотні властивості предметів і явищ і співвідношення з-поміж них».

Тестів Володимир Опанасович,

доктор педагогічних наук, професор кафедри математики та методики викладання математики ФДБОУ ВПО ©Вологодський державний університетª, м. Вологда [email protected]

Особливості формування у школярів основних математичних понять у сучасних умовах

Анотація. У статті розглядаються особливості формування у школярів математичних понять у сучасній парадигмі освіти та у світлі вимог, висунутих у концепції розвитку математичної освіти. Ці вимоги передбачають оновлення змісту навчання математики в школі, наближення його до сучасних розділів та практичного застосування, широке застосування проектної діяльності. Подолати існуючу роз'єднаність різних математичних дисциплін, ізольованість окремих тем та розділів, забезпечити цілісність та єдність у навчанні математики можливо лише на основі виділення в ній основних стрижнів. Такими стрижнями є математичні структури. Необхідною умовою реалізації принципу доступності навчання є поетапність процесу формування понять про основні математичні структури. Велику допомогу у поетапному вивченні математичних структур може надати метод проектів. Застосування цього методу при вивченні школярами математичних структур дозволяє вирішити цілий комплекс завдань з розширення та поглиблення знань з математики, розгляду можливостей їх застосування в практичній діяльності, набуття практичних навичок роботи з сучасними програмними продуктами, всебічного розвитку індивідуальних здібностей школярів. Ключові слова: зміст навчання математики , математичні структури, поетапність процесу формування понять, метод проектів. Розділ: (01) педагогіка; історія педагогіки та освіти; теорія та методика навчання та виховання (за предметними областями).

В даний час завершується перехід до інформаційного суспільства, одночасно оформляється нова парадигма в освіті, яка ґрунтується на постнекласичній методології, синергетичних принципах самоосвіти, впровадженні мережевих технологій, проектної діяльності, компетентнісного підходу. Всі ці нові віяння вимагають оновлення змісту навчання математики в школі, наближення його до сучасних розділів та практичних застосувань. Особливостями навчального матеріалу в інформаційному суспільстві є принципова надмірність інформації, нелінійний характер її розгортання, можливість варіативності навчального матеріалу. Роль математичної освіти як основи конкурентоспроможності, необхідного елемента безпеки країни усвідомлена керівництвом Росії. У цій концепції піднято багато актуальних проблем математичної освіти. В якості основної проблеми виділено низьку навчальну мотивацію школярів, що пов'язано з недооцінкою математичної освіти, що існує в суспільній свідомості, а також перевантаженістю програм, оціночних і методичних матеріалів технічними елементами та застарілим змістом. Сучасний стан математичної підготовки учнів викликає серйозні побоювання. Спостерігається формалізм математичних знань випускників середніх шкіл, їхня недостатня дієвість; недостатній рівень математичної культури та математичного мислення. У багатьох випадках конкретний матеріал, що вивчається, не складається в систему знань; учень виявляється ©похованийªпід масою інформації, що обрушується на нього з Інтернету та інших джерел, будучи не в змозі самостійно її структурувати та осмислити.

В результаті значна частина такої інформації швидко забувається і математичний багаж значної частини випускників середніх шкіл складається з більшої чи меншої кількості слабко пов'язаних між собою догматично засвоєних відомостей і краще або гірше закріплених навичок виконання деяких стандартних операцій та типових завдань. Уявлення про математику як про єдину науку зі своїм предметом та методом у них відсутнє. Надмірне захоплення суто інформаційною стороною навчання призводить до того, що багатьма учнями не сприймається багатий зміст математичних знань, закладених у програмі. широкого застосування у суспільстві математичних моделей. Тим самим ставиться завдання наближення змісту навчання математики до сучасної науки. Подолати роз'єднаність різних математичних дисциплін, ізольованість окремих тем і розділів, забезпечити цілісність та єдність у навчанні математики можливо лише на основі виділення у ній витоків, основних стрижнів. Такими стрижнями у математиці, як зазначали А.Н. Колмогоров та інші найбільші вчені, є математичні структури, які поділяються, згідно з М.Бурбаками, на алгебраїчні, порядкові та топологічні. Деякі з математичних структур можуть бути безпосередніми моделями реальних явищ, інші пов'язані з реальними явищами лише за допомогою довгого ланцюга понять та логічних структур. Математичні структури другого типу є продуктом розвитку математики. З погляду щодо математики випливає, що у будь-якому математичному курсі повинні вивчатися математичні структури. Ідея математичних структур, що виявилася дуже плідною, послужила одним із спонукальних мотивів до радикальної реформи математичної освіти у 6070-х рр.. Хоча ця реформа пізніше зазнала критики, її основна ідея залишається дуже корисною і для сучасної математичної освіти. Останнім часом у математиці виникли нові важливі розділи, що вимагають свого відображення як у вузівській, так і в шкільній програмі з математики (теорія графів, теорія кодування, фрактальна геометрія, теорія хаосу та ін.). Ці нові напрями в математиці мають великий методологічний, розвиваючий і прикладний потенціал. Зрозуміло, всі нові розділи математики що неспроможні від початку вивчатися у всій їх глибині і повноті. Як показано в , процес навчання математики повинен розглядатися як багаторівнева система з обов'язковою опорою на нижчі, більш конкретні рівні, ступеня наукового пізнання. Без такої опори навчання може стати формальним, що дає знання без розуміння. Поетапність процесу формування основних математичних понять є необхідною умовою реалізації принципу доступності навчання.

Погляди необхідність виділення послідовних етапів у формуванні понять про математичні структури серед математиків педагогів широко поширені. Ще Ф. Клейн у своїх лекціях для вчителів відзначав необхідність попередніх етапів у вивченні основних математичних понять: Ми повинні пристосовуватися до природних схильностей юнаків, повільно вести їх до вищих питань і лише на закінчення ознайомити їх з абстрактними ідеями; викладання має йти тим самим шляхом, яким усе людство, починаючи зі свого наївного первісного стану, дійшло до вершин сучасного знання. ...Як повільно виникали всі математичні ідеї, як вони майже завжди спливали спочатку швидше у вигляді здогадки і лише після довгого розвитку набували нерухомої викристалізованої форми систематичного викладуª. На думку О.М. Колмогорова, навчання математики має складатися з кількох ступенів, що він обгрунтовував тяжінням психологічних установок учнів до дискретності і тим, що «природний порядок нарощування знань і умінь завжди має характер “розвитку по спіралі”ª. Принцип ©лінійної побудова багаторічного курсу, зокрема математики, на його думку, позбавлений ясного змісту. Однак логіка науки не вимагає, щоб «спіраль» обов'язково розбивалася на окремі «витки». Як приклад такого поетапного вивчення розглянемо процес формування поняття такої математичної структури, як група. Першим етапом у цьому можна вважати ще дошкільний вік, коли діти знайомляться з алгебраїчними операціями (складання та віднімання), які проводяться безпосередньо над безліччю предметів. Далі цей процес триває у школі. Можна сказати, що весь курс шкільної математики пронизаний ідеєю групи. Знакомство учнів з поняттям групи починається, по суті, вже в 15-х класах. У цей період у школі операції алгебри проводяться вже над числами. Теоретикочисловий матеріал є у шкільній математиці найбільш благодатним матеріалом для формування поняття про алгебраїчні структури. Ціле число, складання цілих чисел, введення нуля, знаходження для кожного числа йому протилежного, вивчення законів дій все це, по суті, етапи у формуванні поняття про основні алгебраїчні структури (групи, кільця, полях). У наступних класах школи учні стикаються з питаннями, що сприяють розширенню знань такого характеру. У курсі алгебри здійснюється перехід від конкретних чисел, що виражаються цифрами, до абстрактних буквених виразів, що позначають конкретні числа лише за певного тлумачення букв. Алгебраїчні операції виробляються не тільки над числами, а й над об'єктами іншої природи (багаточленами, векторами). Учні починають усвідомлювати універсальність деяких властивостей операцій алгебри. Особливо важливим для усвідомлення ідеї групи є вивчення геометричних перетворень та понять композиції перетворень та зворотного перетворення. Однак останні два поняття не відображені в чинній шкільній програмі (про послідовне виконання рухів і про зворотне перетворення лише побіжно згадується в підручнику А.В. Погорєлова). У елективних і факультативних курсах доцільно розглянути групи самосуміщень деяких геометричних фігур, групи обертань, орнаментів, бордюрів, паркетів і різні додатки теорії груп в кристалографії, хімії і т.д. Ці теми, де доводиться знайомитися з математичною постановкою практичних завдань, викликають у них интерес.При знайомстві з поняттям групи у вигляді необхідно спиратися на раніше отримані знання, які виступають структурообразующим чинником у системі математичної підготовки студентів, що дозволяє належним чином вирішити проблему наступності між шкільною і вузівською математикою. Хоча вивчення сучасних понять математики та її додатків підвищує інтерес до предмета, але додаткового часу при цьому на уроках вчителеві знайти практично неможливо. Тому тут може допомогти впровадження у навчальний процес проектної діяльності. Цей тип організації праці є однією з основних форм реалізації освіти компетентнісного підходу. Такий тип організації праці, як зазначає А.М. Новіков вимагає вміння працювати в команді, найчастіше різнорідної, комунікабельності, толерантності, навичок самоорганізації, вміння самостійно ставити цілі і досягати їх. Якщо коротко сформулювати, що таке освіченість у постіндустріальному суспільстві, то це здатність спілкуватися, вчитися, аналізувати, проектувати, вибирати і творити. головну роль проективного початку, відмова від розуміння освіти лише як отримання готового знання, зміна ролі вчителя, використання отримання знань комп'ютерних мереж. Вчитель, як і раніше, залишається центральною ланкою процесу навчання, з двома найважливішими функціями підтримки мотивації, сприяння формуванню пізнавальних потреб та модифікації процесу навчання класу або конкретного учня. Електронна освітня середовище сприяє формуванню його нову роль. У такому високоінформативному середовищі вчитель і учень рівні доступу до інформації, змісту навчання, тому вчитель не може бути головним чи єдиним джерелом фактів, ідей, принципів та іншої інформації. Його нову роль можна охарактеризувати як наставництво. Він поводир, який вводить учнів в освітній простір, у світ знання та світ незнання. Однак за вчителем зберігаються і багато старих ролей. Зокрема, під час навчання математики учень часто стикається з проблемою розуміння і, як показує досвід, з нею учень без діалогу з учителем упоратися не може, навіть при використанні найсучасніших інформаційних технологій. Архітектура математичного знання погано поєднується з випадковими спорудами і потребує особливої ​​культури, як засвоєння, і викладання. Тому вчитель математики був і залишається тлумачем смислів різних математичних текстів. мережевих технологій є навчальний мережевий проект. При вивченні математики мережеві проекти зручний засіб для спільного відпрацювання учнями навичок вирішення завдань, перевірки рівня знань, а також формування інтересу до предмета. Особливо такі проекти корисні для учнів гуманітарних профілів та інших, далеких від математики. Що стосується проектної діяльності, то теоретичні передумови використання проектів у навчанні склалися ще в індустріальну епоху та засновані на ідеях американських педагогів та психологів кінця XIX ст. Дж. Дьюї та У. Кілпатріка. На початку XX ст. вітчизняні педагоги (П.П. Блонський, П.Ф. Каптерєв, С.Т. Шацький та ін), які розробляли ідеї проектного навчання, зазначали, що метод проектів може застосовуватися як засіб злиття теорії та практики у навчанні; розвитку самостійності та підготовки школярів до трудового життя; всебічного розвитку розуму та мислення; формування творчих здібностей Але вже тоді стало зрозумілим, що проектне навчання корисна альтернатива класноурочній системі, але воно аж ніяк не повинно витісняти її і ставати якоюсь панацеєю. самостійно набувати їх, орієнтуватися в інформаційному просторі. Дослідники зазначають, що ефективність реалізації навчальних проектів досягається, якщо вони взаємопов'язані між собою, згруповані за певними ознаками, а також за умови їх систематичного використання на всіх етапах засвоєння змісту предмета: від оволодіння основними математичними знаннями до самостійного набуття нових знань до глибокого розуміння математичних закономірностей і використання в різних ситуациях.Результат виконання навчальних проектів передбачає створення суб'єктивно нового, особистісно значимого продукту, орієнтованого формування міцних математичних знань і умінь, розвиток самостійності, зростання інтересу до предмету.Загальновизнано, що шкільна математика передбачає спеціально організовану діяльність у вирішенні завдань. Проте перше, що впадає у вічі під час розгляду проектів «з математики», це практично повна відсутність власне математичної діяльності в більшості з них. Тематика таких проектів дуже обмежена, в основному це теми, пов'язані з історією математики («золотий перетин», «числа Фібоначчі», «світ багатогранників» і т.п.). У більшості проектів є лише видимість математики, є деяка діяльність, пов'язана з математикою лише побічно. Вихід на сучасні розділи математики утруднений через відсутність у шкільній програмі навіть натяку на такі розділи. систематизація певної інформації. У той самий час у математичної діяльності збір і систематизація інформації лише перший етап роботи над розв'язанням проблеми, причому найпростіший, на вирішення математичної завдання потрібні спеціальні розумові дії, неможливі без засвоєння знань. Математичні знання мають специфічні особливості, ігнорування яких призводить до їх вульгаризації. Знання в математиці це перероблені смисли, що пройшли щаблі аналізу, перевірки на несуперечність, сумісність із попереднім досвідом. Це не дозволяє розуміти під «знаннямª просто факти, вважати здатність до редукції повноцінним засвоєнням. Математика як навчальний предмет має іншу специфічну особливість: у ній вирішення завдань виступає як об'єкт вивчення і метод розвитку особистості. Тому в ній вирішення завдань має залишатися основним видом навчальної діяльності, особливо для учнів, які вибрали профілі, пов'язані з математикою. Учень має увійти, зазначає І.І. Мельников, проникнути всередину найскладнішого вміння, дарованого людині, процесу прийняття рішень. Йому пропонують зрозуміти, що таке вирішити задачуª, як сформулювати проблему, як визначити засоби для вирішення, як розбити складне завдання на взаємопов'язані ланцюжки простих завдань. Рішення завдань постійно підказує свідомості, що розвивається, у створенні нового знання, у вирішенні проблем немає нічого містичного, розмитого, неясного, що людині дано вміння руйнувати стіну незнання, і це вміння можна розвивати і зміцнювати. Індукція та дедукція два кити, на яких тримається рішення, закликають на допомогу аналогію та інтуїцію, тобто саме те, що в «дорослому житті» дасть майбутньому громадянину можливість самому визначати свою поведінку в складній ситуації.

Як писав ще А.А. Столяр навчання математики через завдання давно відома проблема. Завдання повинні бути і мотивом для подальшого розвитку теорії, і можливістю для його ефективного застосування. Вважаючи задачний підхід найбільш ефективним засобом розвитку навчально-математичної діяльності учнів, він ставив завдання побудови педагогічно доцільної системи завдань, за допомогою якої можна було б провести учня послідовно через всі аспекти математичної діяльності (виявлення проблемних ситуацій та завдань, математизація конкретних ситуацій, вирішення завдань, що мотивують розширення теорії і т.д.). Встановлено, що вирішення традиційних завдань з математики вчить молоду людину мислити, самостійно моделювати і прогнозувати навколишній світ, тобто зрештою переслідує майже ті ж цілі, що і проектна діяльність, за винятком, можливо, набуття комунікативних навичок, оскільки частіше всього вчителі не висувають вимог до подання рішень задачі. Тому у навчанні математики вирішення завдань, мабуть, має залишитися основним видом навчальної діяльності, а проекти лише доповненням до нього. Цей найважливіший вид навчальної діяльності дозволяє школярам засвоювати математичну теорію, розвивати творчі здібності та самостійність мислення. Внаслідок цього ефективність навчально-виховного процесу великою мірою залежить від вибору завдань, від способів організації діяльності учнів з їхньої вирішенню, тобто. методики розв'язання задач. Педагоги, психологи та методисти довели, що з ефективної реалізації цілей математичної освіти необхідно використовувати у навчальному процесі системи завдань із науково обгрунтованою структурою, у якій місце і порядок кожного елемента суворо визначено і відбивають структуру та функції цих завдань. Тому у своїй професійній діяльності вчитель математики повинен прагнути подати зміст навчання математики значною мірою саме через системи завдань. До таких систем пред'являється низка вимог: ієрархічність, раціональність обсягу, наростання складності, повнота, цільове призначення кожного завдання, можливість здійснення індивідуального підходу тощо.

Якщо школяр вирішив складне завдання, то в принципі немає великої різниці, як учень оформить результат: у вигляді презентації, доповіді чи просто подряпає рішення на аркуші у клітку. Вважається достатнім, що вирішив завдання. Тому загальні вимоги до презентації результатів проектів, що висуваються: актуальність проблеми та оформлення результатів (©артистизм і виразність виступуª) мало підходять до оцінки тих проектів з математики, в основу яких покладено вирішення складних завдань. Однак, виходячи з вимог сучасного суспільства, діяльність з вирішення завдань необхідно вдосконалювати, звертаючи більшу увагу на початковий етап (усвідомлення місця цього завдання в системі математичних знань) та заключний етап (презентація вирішення задачі). Якщо говорити про проектну діяльність, то найбільш доцільним є застосування в практиці навчання міжпредметних проектів, що реалізують інтегративний підхід у навчанні математики і одночасно кільком природничим або гуманітарним дисциплінам. У таких проектів більш різноманітна та цікава тематика, такі проекти з чотирьомп'ятишості дисциплін найдовгостроковіші, оскільки їх створення передбачає обробку великого обсягу інформації. Приклади таких міжпредметних проектів наведено у книзі П.М.Горьова та О.Л. Лунєєвої. Результатом подібного макропроекту може бути веб-сайт, присвячений темі проекту, база даних, брошура з результатами роботи тощо. Працюючи над такими макропроектами навчальну діяльність учень здійснює у взаємодії коїться з іншими користувачами мережі, тобто.навчальна діяльність стає індивідуальної, а спільної. Тому на таке навчання нам треба дивитися як на процес, що відбувається в навчальному співтоваристві. У співтоваристві, в якому і учні, і вчителі виконують свої певні функції. І результат навчання можна розцінювати саме з точки зору виконання цих функцій, а не за тими чи іншими зовнішніми, формальними параметрами, що характеризують суто предметне знання в окремих учнів. Треба визнати, що практика застосування ©проектного методу в шкільному навчанні математики поки що досить бідна, все часто зводиться до знаходження учнем в Інтернеті якоїсь інформації на задану тему та до оформлення проекту. У багатьох випадках виходить просто імітація проектної діяльності. У силу цих особливостей багато вчителів дуже скептично ставляться до застосування методу проектів у навчанні школярів своєму предмету: хтось просто не може розібратися в сенсі такої діяльності учнів, хтось не бачить результативності цієї освітньої технології стосовно своєї дисципліни. Однак ефективність методу проектів для більшості шкільних предметів вже незаперечна. у ній стрижнів математичних структур.Розглянемо докладніше застосування проектного методу щодо математичного матеріалу молодшими школярами. У силу вікових особливостей таких учнів вивчення математичного матеріалу, зокрема геометричного, носить суто ознайомлювальний характер. Водночас проекти дозволяють закласти у молодших школярів розуміння ролі геометрії у реальних життєвих ситуаціях, порушити інтерес до подальшого вивчення геометрії. При виконанні цих проектів цілком можливе застосування різних програмних засобів навчального призначення. Для реалізації більшості проектів з геометричного матеріалу підходять різні комп'ютерні середовища. У початковій школі доцільно використовувати інтегроване комп'ютерне середовище ПершоЛого, програму MicrosoftOfficePowerPoint, а також електронний навчальний посібник ©Математика та конструюванняª та ІДС ©Геометричне конструювання на площині та в просторіª, які представлені в Електронній колекції цифрових освітніх ресурсів та призначені для вільного застосування. даних програмних продуктів обґрунтований тим, що вони відповідають віковим особливостям учнів початкової школи, є доступними для використання їх у навчальному процесі, надають великі можливості для реалізації проектного методу. Викладачем Вологодського педколеджу О.М. Кострова була розроблена програма позаурочної діяльності, що містить комплекс проектів з геометричного матеріалу та методичні рекомендації для вчителів з організації роботи над проектами. Основна мета зразкової програми формування геометричних уявлень молодших школярів на основі використання методу навчальних проектів. Робота з реалізації комплексу проектів спрямована на поглиблення та розширення знань учнів з геометричного матеріалу, пізнання навколишнього світу з геометричних позицій, формування вміння застосовувати отримані знання під час вирішення навчально-пізнавальних та навчально-практичних завдань із застосуванням програмних засобів, формування просторового та логічного мислення. Приблизною програмою передбачено поглиблене вивчення таких тем, як «Багатокутники», «Окружність». Кругª, ©План. Масштабª, ©Об'ємні фігуриª, вивчення додаткових тем знайомство з осьовою симетрією, представлення числових даних площі та обсягу у вигляді діаграм. Робота над деякими проектами передбачає використання історичного та краєзнавчого матеріалу, що сприяє підвищенню пізнавального інтересу до вивчення геометричного матеріалу. Комплекс проектів представлений такими темами: ©Світ лінійª, ©Старовинні одиниці вимірювання довжиниª, ©Краса візерунків із багатокутниківª, Прапори районів Геометрична казкаª(2й клас);©Орнаменти Вологодської областіª, ©Паркетª, ©Нотатка в газету про коло або колоª, ©Меандрª, ©Дачна ділянкаª(3йклас);©Кутиª, ©Загадка пірамідиª, ©Вулиці нашого містаª, ©Розрахункові роботи при будівництвіª, робота з конструкторами (4йклас).

У процесі роботи над проектами учні виконують побудову плоских і об'ємних геометричних фігур, конструювання та моделювання з геометричних фігур інших фігур, різноманітних об'єктів, проводять невеликі дослідження з геометричного матеріалу. що сприяє всебічному розвитку учнів. Цей метод реалізує діяльнісний підхід до навчання, оскільки навчання відбувається у процесі молодших школярів; сприяє розвитку вміння у плануванні своєї навчальної діяльності, вирішення проблем, компетентності у роботі з інформацією, комунікативної компетентності. Таким чином, застосування методу проектів при навчанні школярів геометричному матеріалу дозволяє вирішити цілий комплекс завдань щодо розширення та поглиблення знань з елементів геометрії, розгляду можливостей їх застосування у практичній діяльності, набуття практичних навичок роботи з сучасними програмними продуктами, всебічного розвитку індивідуальних здібностей школярів. математичному матеріалу для молодших школярів є лише перший етап проектної діяльності з математики. На наступних щаблях навчання необхідно продовжувати цю діяльність, розвиваючи і поглиблюючи знання школярів про основні математичні структури. Цю специфічну особливість навчального предмета слід враховувати при розробці проектів, тому навчальні проекти повинні бути засобом для відпрацювання школярами навичок вирішення завдань, перевірки рівня знань, формування пізнавального інтересу до предмета.

Посилання на джерела1. Тестов В. А. Оновлення змісту навчання математики: історичні та методологічні аспекти: монографія. Вологда, ВДПУ, 2012. 176 с.2. Тестов В. А. Математичні структури як науково-методична основа побудови математичних курсів у системі безперервного навчання (школа ВНЗ): дис. … дра пед. наук. Вологда, 1998.3.Колмогоров А. Н. До обговорення роботи з проблеми ©Перспективи розвитку радянської школи на найближчі тридцять роківª // Математика в школі. 1990. № 5. З. 5961.4.Новіков А. М. Постіндустріальне освіту. М.: Издво ©Егвесª, 2008.5.Освіта, яку ми можемо втратити: зб. / За заг. ред. ректора МДУ академіка В.О. Садівничого М: МДУ ім. М. У. Ломоносова, 2002. З. 72.6.Столяр А. А. Педагогіка математики: курс лекцій. Мінськ: Вишешш. шк., 1969.7.Горьов П.М., Лунєєва О.Л. Міжпредметні проекти учнів середньої школи. Математичний і природничий цикли: учеб.метод.посібник. Кіров: Видво МЦИТО, 2014. 58 с.8.Там же.9.КостроваО.Н. Програмні засоби у реалізації методу проектів щодо елементів геометрії молодшими школярами // Науковий огляд: теорія і практика. 2012 року. №2. С.4148.

Володимир Тестов,

Лікар Padagogic Sciences, Professor at the chair of Mathematics and Methods of Teaching Mathematics, Вологда State University, Vologda, Russia [email protected]Пупіри'main математичні notionsformation в сучасних умовахAbstract.The paperdiscusses the peculiarities of pupils'Mathematical notions формування в modern paradigm освіта і в світлі бідолашності,зроблені в концепції математичної освіти. Ці вимоги imply updatingcontent teaching matematics at education, bringing it closer to moderns sections and practical applications, widespread using of project activities. Для того, щоб існувати розрізнення різних математичних disciplines і ізолювання окремих секцій, щоб забезпечити внутрішність і досконалість в вивченні математичних можливо лише при розміщеннітемових ліній в ньому. Mathematical structures є therods, основна будова ліній з математичних курсів. Розглянутий процес формування концепцій про основні математичні структури є пререquisite для реалізації принципу наявності тренінгів. Метод проектів може бути великим методом у фазі вивчення математичних структур. Application of this method in the study of matematical structures allows solve a number of tasks to expande and deepen the nowledge of matematics, consider the posibilities of their application inpractice, the acquisition of practical skills to work with modern software products, the full de індивідуальні можливості of pupils.Keywords: content of teaching mathematics, mathematical structures, phased process formation of notions, project method.

References1.Testov,V. A. (2012) Обновлення совєдханiя обученiя математики: iсторiческiе i metodologicheskie aspekty: monografija, VGPU, Vologda, 176 p.(in Russian).2.Testov,V. А. (1998) Математичні структури як наукометодіческая основа построения математичних курсів в системі нерівного обучення (школа вуз): dis. … dra ped. nauk, Vologda(in Russian).3.Kolmogorov,A. N. (1990) "До обслуговуванню роботи по проблемі 'Перспективи розвітія совєтської школи на ближчі тридкати" років", Математика в школі, № 5, pp. 5961(in Russian).4. "noe obrazovanie, Izdvo "Jegves",Moscow(in Russian).5.V. A. Sadovnichij (ed.)(2002) Образування, яке ми можемо потерять": SB. MGU ім. 7. Горев, P. M. &Luneeva, O. L. (2014) Межпредметні проекти uchashhihsja середньої школи. in Ukrainian ).8.Ibid.9.Кострова,О.

Некрасової Г.М., доктором педагогічних наук, професором, членом редакційної колегії журналу ©Концептª

Міністерство освіти Республіки Білорусь

“Гомельський державний університет ім. Ф. Скорини»

Математичний факультет

Кафедра МПМ

Реферат

Математичні поняття

Виконавець:

Студентка групи М-32

Молодцова О.Ю.

Науковий керівник:

Канд. фіз-мат. наук, доцент

Лебедєва М.Т.

Гомель 2007

Вступ

Формулювання багатьох визначень (теорем, аксіом) учням зрозумілі, легко запам'ятовуються після небагатьох повторень, тому доцільно спочатку запропонувати їх запам'ятати, та був навчити застосовувати до вирішення завдань.

роздільним.

1. Обсяг та зміст поняття. Класифікація понять

Об'єкти реальної дійсності мають: а) єдині властивості, що виражають його відмінні властивості (наприклад, рівняння третього ступеня з однією змінною - кубічне рівняння); б) загальними властивостями, які можуть бути відмітними, якщо виражають суттєві властивості об'єкта (його ознаки), що виділяють його з багатьох інших об'єктів.

Термін "поняття" використовується для позначення уявного образу деякого класу об'єктів, процесів. Психологи виділяють три форми мислення:

1) поняттями (наприклад, медіана – відрізок, що з'єднує вершину з протилежною стороною трикутника);

2) судженнями (наприклад, для кутів довільного трикутника справедливо:);

3) висновками (наприклад, якщо a>b і b>c, то a>c).

Характерними для форми мислення поняттямиє: а) це продукт високоорганізованої матерії; б) відбиває матеріальний світ; в) постає у пізнанні як засіб узагальнення; г) означає специфічно людську діяльність; д) його формування у свідомості невіддільне від його вираження у вигляді мови, запису або символу.

Математичне поняття відображає у нашому мисленні певні форми та відносини дійсності, абстраговані від реальних ситуацій. Їх формування відбувається за схемою:

Кожне поняття поєднує безліч об'єктів чи відносин, зване обсягом поняття, а характеристичні властивості, властиві всім елементам цієї множини і лише їм, що виражають зміст поняття.

Наприклад, математичне поняття – чотирикутник. Його Об `єм: квадрат, прямокутник, паралелограм, ромб, трапеція і т.д. Зміст: 4 сторони, 4 кути, 4 вершини (характеристичні властивості).

Зміст поняття жорстко визначає його обсяг і навпаки, обсяг поняття цілком визначає його зміст. Перехід від чуттєвого ступеня до логічного відбувається за допомогою узагальнення:або через виділення загальних ознак об'єкта (паралелограм – чотирикутник – багатокутник); або через загальні ознаки у поєднанні з особливими чи одиничними, що призводить до конкретного поняття.

У процесі узагальнення обсяг розширюється, а зміст звужується. У процесі спеціалізації поняття обсяг звужується, зміст розширюється.

Наприклад:

багатокутники – паралелограми;

Трикутники – рівносторонні трикутники.

Якщо обсяг одного поняття міститься в обсязі іншого поняття, друге поняття називається родовим, По відношенню до першого; а перше називається видовимпо відношенню до другого. Наприклад: паралелограм - ромб (рід) (Вигляд).

Процес з'ясування обсягу поняття називається класифікацієюсхема якої виглядає так:

нехай дано безліч і деяке властивість і нехай є елементи, як які володіють, так і не володіють цією властивістю. Нехай:

Виділимо в нову властивість і проведемо розбиття за цією властивістю:

Наприклад: 1) класифікація числових множин, що відбивають розвиток поняття числа; 2) класифікація трикутників: а) з боків; б) за кутами.

Завдання №1.Багато трикутників зобразимо за допомогою точок квадрата.

Властивість рівнобедреності;

Властивість прямокутності;

Чи існують трикутники, які мають ці властивості одночасно?

2. Математичні визначення. Типи помилок у визначенні понять

Заключний етап формування поняття – його визначення, тобто. ухвалення умовної угоди. Під визначенням розуміється перерахування необхідних та достатніх ознак поняття, зведених у зв'язкову пропозицію (мовленнєве або символічне).

2.1 Способи визначення понять

Спочатку виділяють невизначені поняття, виходячи з яких визначаються математичні поняття такими способами:

1) через найближчий рід та видову відмінність: а) дескриптивне(що з'ясовує процес, з якого визначення побудовано, чи описує внутрішню будову залежно від операцій, з яких дане визначення було побудовано з невизначених понять); б) конструктивне(або генетичне), що вказує на походження поняття.

Наприклад: а) прямокутник – це паралелограм, у якого всі кути прямі; б) колом називається фігура, яка складається з усіх точок площини, рівновіддалених від цієї точки. Ця точка називається центром кола.

2) індуктивно.Наприклад, визначення арифметичної прогресії:

3) через абстракцію. Наприклад, натуральне число - характеристика класів еквівалентних кінцевих множин;

4) аксіоматичне (непряме визначення). Наприклад, визначення площі фігури в геометрії: для простих фігур площа - це позитивна величина, чисельне значення якої має наступні властивості: а) рівні фігури мають рівні площі; б) якщо фігура розбивається на частини, що є простими фігурами, площа цієї фігури дорівнює сумі площ її частин; в) площа квадрата зі стороною, що дорівнює одиниці виміру, дорівнює одиниці.

2.2 Явні та неявні визначення

Визначення поділяються на:

а) явні, у яких чітко виділені обумовлене та визначальні поняття (наприклад, визначення через найближчий рід та видову відмінність);

б) неявні, Які будуються за принципом заміни одного поняття іншим з ширшим обсягом і закінчення ланцюжка є поняття, що не визначається, тобто. формально-логічне визначення (наприклад, квадрат - ромб з прямим кутом; ромб - паралелограм з рівними суміжними сторонами; паралелограм - чотирикутник, з попарно паралельними сторонами; чотирикутник - фігура, що складається з 4 кутів, 4 вершин, 4 сторін). У шкільних визначеннях найчастіше практикується перший спосіб, схема якого така: маємо безліч і деяку властивість тоді

Основна вимога при побудові визначень: визначається безліч має бути підмножиною мінімальної множини. Наприклад, порівняємо два визначення: (1) Квадрат є ромб із прямим кутом; (2) Квадрат є паралелограм з рівними сторонами та прямим кутом (надлишкове).

Будь-яке визначення є вирішення завдання на “доказ існування”. Наприклад, прямокутний трикутник є трикутником із прямим кутом; його існування – побудова.

2.3 Характеристика основних типів помилок

Зазначимо типові помилки, які зустрічаються у учнів щодо понять:

1) використання не мінімальної множини як визначального, включення логічно залежних властивостей (характерно при повторенні матеріалу).

Наприклад: а) паралелограм - чотирикутник, у якого протилежні сторони рівні та паралельні; б) пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона, перетинаючись з цією площиною, утворює прямий кут з кожної прямої, проведеної на площині через точку перетину, замість: "пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до всіх прямих площині";

2) використання визначеного поняття та як визначального.

Наприклад, визначається прямий кут не як один із рівних суміжних кутів, а як кути із взаємно перпендикулярними сторонами;

3) тавтологія - визначається поняття через саме це поняття.

Наприклад, дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в іншу перетворенням подібності;

4) іноді у визначенні вказується чи то визначальне безліч, з якого виділяється визначається підмножина.

Наприклад, "медіана є пряма ..." замість "медіана є відрізок, що з'єднує ...";

5)у визначеннях, що даються учнями, іноді зовсім відсутнє поняття, що визначається,що можливе лише тоді, коли учні не привчені давати повні відповіді.

Методика виправлення помилок у визначеннях передбачає, спочатку, з'ясування суті допущених помилок, та був попередження їх повторення.

3. Структура визначення

1) Кон'юнктивна структура: дві точки і називаються симетричними щодо прямої p( A(x)), якщо ця пряма p перпендикулярна до відрізка і проходить через його середину. Будемо також вважати, що кожна точка прямої р симетрична собі щодо прямої р (наявність союзу "і") (* - "Бісектрисою кута називається промінь, що виходить з його вершини, проходить між його сторонами і ділить кут навпіл").

2)Конструктивна структура: “Нехай – дана фігура та р – фіксована пряма. Візьмемо довільну точку фігури та опустимо перпендикуляр на пряму р. На продовження перпендикуляра за точку відкладемо відрізок, який дорівнює відрізку. Перетворення фігури у фігуру, у якому кожна точка перетворюється на точку, побудовану вказаним чином, називають симетрією щодо прямої р.”

3) Диз'юнктивна структура: визначення безлічі Zцілих чисел можна записати мовою властивостей у вигляді Z Nабо Nабо =0, де N -безліч чисел, протилежних натуральним.

4. Характеристика основних етапів вивчення математичних понять

Методика роботи над визначенням передбачає: знання визначення; 2) навчання розпізнавання об'єкта, що відповідає даному визначенню; 3) побудова різних контрприкладів. Наприклад, поняття “прямокутний трикутник” та робота з розпізнавання його складових елементів:

Вивчення математичних визначень можна поділити на три етапи:

1-й етап - запровадження - створення під час уроці ситуації, коли учні чи самі “відкривають” нове, самостійно формують їм визначення, або просто готуються до розуміння.

2-й етап - забезпечення засвоєння - зводиться до того, щоб школярі:

а) навчилися застосовувати визначення;

б) швидко і безпомилково запам'ятовувати їх;

в) розуміли кожне слово у їх формулюваннях.

3-й етап - закріплення - здійснюється на наступних уроках і зводиться до повторення їх формулювань та опрацювання навичок застосування до вирішення завдань.

Ознайомлення з новими поняттями проводяться:

1 спосіб: учні готуються до самостійного формування визначення.

2 спосіб: учні готуються до свідомого сприйняття, розуміння нової математичної пропозиції, формулювання якого їм повідомляється потім у готовому вигляді.

3 спосіб: вчитель сам формулює нове визначення без будь-якої підготовки, а потім зосереджує зусилля учнів на їх засвоєнні та закріпленні.

1 і 2 спосіб являють собою евристичний метод, 3 спосіб - догматичний. Використання будь-якого із способів має відповідати рівню підготовленості класу та досвіду вчителя.

5. Характеристика прийомів запровадження понять

Можливі наступні прийоми під час запровадження понять:

1) можна скласти вправи, які дозволяють учням швидко сформулювати визначення нового поняття.

Наприклад: а) Виписати кілька перших членів послідовності (), яка має =2, . Така послідовність називається геометричною прогресією. Спробуйте сформулювати її визначення. Можна обмежитись підготовкою до сприйняття нового поняття.

б) Виписати кілька перших членів послідовності (), яка має =4, Далі вчитель повідомляє, що така послідовність називається арифметичною прогресією і сам повідомляє її визначення.

2) щодо геометричних понять вправи формулюються в такий спосіб, щоб учні побудували самі необхідну постать і змогли виділити ознаки нового поняття, необхідних формулювання определения.

Наприклад: побудуйте довільний трикутник, з'єднайте відрізком його вершину із серединою протилежної сторони. Такий відрізок називається медіаною. Сформулюйте визначення медіани.

Іноді пропонується скласти модель або, розглядаючи готові моделі та креслення, виділити ознаки нового поняття та сформулювати його визначення.

Наприклад: введено у 10 класі визначення паралелепіпеда. За запропонованими моделями похилого, прямого і прямокутного паралелепіпедів виділити ознаки, якими ці поняття різняться. Сформулювати відповідні визначення прямого та прямокутного паралелепіпедів.

3) Багато алгебраїчні поняття вводяться виходячи з розгляду приватних прикладів.

Наприклад: графік лінійної функції є пряма.

4)Метод доцільних завдань,(розроблений С.І. Шохором-Троцьким) За допомогою спеціально підібраного завдання учні приходять до висновку про необхідність запровадження нового поняття та доцільності надання йому саме такого сенсу, який воно вже має в математиці.

У 5-6 класах таким способом вводяться поняття: рівняння, корінь рівняння, розв'язання нерівностей, поняття процесів складання, віднімання, множення, розподілу над натуральними числами, десятковими і звичайними дробами тощо.

Конкретно-індуктивний метод

Сутність:

а) розглядаються конкретні приклади;

б) виділяються суттєві властивості;

в) формулюється визначення;

г) виконуються вправи: на розпізнавання; на конструювання;

д) робота над властивостями, не включеними до визначення;

е) застосування властивостей.

Наприклад: тема - паралелограми:

1, 3, 5 – паралелограми.

б) суттєві ознаки: чотирикутник, попарна паралельність сторін.

в) розпізнавання, побудова:

г) знайти (побудувати) четверту вершину паралелограма (* - завдання №3, ст.96, Геометрія 7-11 клас: Скільки можна побудувати паралелограмів з вершинами у трьох заданих точках, що не лежать на одній прямій? Побудуйте їх.).

д) інші властивості:

AC і BD перетинаються в точці О і АО=ОС, ВО=ОD; АВ = CD, AD = BC.

е) А = С, В = D.

Закріплення: розв'язання задач №4-23, стор.96-97, Геометрія 7-11, Погорєлов.

Перспективне значення:

а) використовується при вивченні та визначенні прямокутника та ромба;

б) принцип паралельності та рівності відрізків, укладених між паралельними прямими у теоремі Фалеса;

в) поняття паралельного перенесення (вектора);

г) властивість паралелограма використовується під час виведення площі трикутника;

д) паралельність та перпендикулярність у просторі; паралелепіпед; призма.

Абстрактно-дедуктивний метод

Сутність:

а) визначення поняття: - Квадратне рівняння;

б) виділення істотних властивостей: х – змінна; a, b, c – числа; а?0 при

в) конкретизація поняття: - наведене; приклади рівнянь

г) вправи: на розпізнавання, конструювання;

д) вивчення властивостей, не включених до визначення: коріння рівняння та їх властивості;

е) розв'язання задач.

У школі абстрактно-дедуктивний спосіб застосовується тоді, коли нове поняття повністю підготовлено вивченням попередніх понять, зокрема вивченням найближчого пологового поняття, а видове відмінність нового поняття дуже просте і зрозуміле учням.

Наприклад: визначення ромба після вивчення паралелограма.

Крім того, зазначений метод використовується:

1) при складанні “родоводу” визначення поняття:

Квадрат це прямокутник, у якого всі сторони рівні.

Прямокутник – це паралелограм, у якого всі кути прямі.

Паралелограм - це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні.

Чотирьохкутник - фігура, яка складається з чотирьох точок і чотирьох послідовно з'єднують їх відрізків.

Інакше кажучи, родовід є ланцюжком понять, побудованих через узагальнення попереднього поняття, фіналом якого є невизначене поняття (нагадаємо, що в курсі шкільної геометрії до таких відносяться точка, фігура, площина, відстань (лежати між));

2) класифікація;

3) застосовується до доказів теорем та вирішення завдань;

4) широко використовується у процесі актуалізації знань.

Розглянемо цей процес, представлений системою задач:

а) Дано прямокутний трикутник зі сторонами 3см та 4см. Знайти довжину медіани, проведеної до гіпотенузи.

б) Довести, що медіана, проведена з вершини прямого кута трикутника, дорівнює половині гіпотенузи.

в) Довести, що у прямокутному трикутнику бісектриса прямого кута ділить навпіл кут між медіаною та висотою, проведеними до гіпотенузи.

г) На продовженні найбільшої сторони АС трикутника АВС відкладено відрізок СМ, що дорівнює стороні ВС. Довести, що АВМ тупий.

Найчастіше у шкільному викладанні застосовується конкретно-индуктивный метод. Зокрема, таким методом вводяться поняття в пропедевтичних циклах початків алгебри та геометрії в 1-6 класах, причому багато визначальних понять вводяться описово, без строгих формулювань.

Незнання вчителем різних методів запровадження визначень призводить до формалізму, який проявляється таким чином:

а) учням важко застосувати визначення у незвичній ситуації, хоча пам'ятають його формулювання.

Наприклад: 1) вважають функцію - парною, т.к. "cos" - парна;

2) - не розуміють зв'язок між монотонністю функції та розв'язанням нерівності, тобто. що неспроможні застосовувати відповідні визначення, у яких основний прийом дослідження полягає у оцінці знака різниці значень функції, тобто. у вирішенні нерівності.

б) учні мають навички розв'язання завдань будь-якого типу, але не можуть пояснити, на підставі яких визначень, аксіом, теорем вони виконують ті чи інші перетворення.

Наприклад: 1) – перетворити відповідно до цієї формули та 2) уявіть, що на столі – модель чотирикутної піраміди. Який багатокутник буде основою цієї піраміди, якщо модель покласти на стіл бічною гранню? (Чотирикутник).

Процес формування знань, умінь та навичок не обмежується повідомленням нових знань.

Ці знання мають бути засвоєні та закріплені.

6. Методика забезпечення засвоєння математичних понять (пропозицій)

1. Формулювання багатьох визначень (теорем, аксіом) учням зрозумілі, легко запам'ятовуються після небагатьох повторень, тому доцільно спочатку запропонувати їх запам'ятати, та був навчити застосовувати до вирішення завдань.

Метод, у якому процеси запам'ятовування визначень та формування навичок їх застосування протікають в учнів неодночасно (роздільно), називають роздільним.

Роздільний метод використовується щодо визначення хорди, трапеції, парної та непарної функції, теорем Піфагора, ознак паралельності прямих, теореми Вієта, властивостей числових нерівностей, правил множення звичайних дробів, складання дробів з однаковими знаменниками і т.д.

Методика:

а) вчитель формулює нове визначення;

б) учні класу для запам'ятовування повторюють його 1-3 рази;

в) відпрацьовується на заняттях.

2. Компактний методу тому, що учні читають частинами математичне визначення чи речення і під час читання одночасно виконують вправу.

Читаючи формулювання кілька разів, вони попутно запам'ятовують його.

Методика:

а) підготовка математичної пропозиції до застосування. Визначення розбивається на частини за ознаками, теорема – на умову та висновок;

б) зразок дій, запропонований учителем, який показує, як працювати з підготовленим текстом: читаємо його частинами і одночасно виконуємо вправи;

в) учні частинами читають визначення і одночасно виконують вправи, керуючись підготовленим текстом і зразком вчителя;

Наприклад: визначення бісектриси у п'ятому класі:

1) введення поняття проводиться методом доцільних завдань на моделі кута;

2) виписується визначення: "Промінь, що виходить з вершини кута і ділить його на дві рівні частини, називається бісектрисою кута ";

3) виконується завдання: зазначити, які з ліній на кресленнях є бісектрисами кутів (рівні кути позначаються однаковим числом дуг).

На одному із креслень вчитель показує застосування визначення (див. далі);

4) робота продовжується учнями.

3. Комбінація роздільного та компактного методу : після виведення нового правила воно повторюється 2-3 рази, а потім вчитель вимагає у процесі виконання вправ формулювати правило частинами.

4. Алгоритмічний метод використовується для формування навичок застосування математичних речень.

Методика: математичні речення замінюються алгоритмом. Читаючи по черзі вказівки алгоритму, учень вирішує завдання. Таким чином у нього формується навичка застосування визначення, аксіоми та теореми. При цьому допускається або подальше заучування визначення, або прочитання разом з алгоритмом і визначення.

Основні етапи методу:

а) підготовка до роботи списку вказівок, який або дається у готовому вигляді, з наступним роз'ясненням, або учні підбиваються для його самостійного складання;

б) зразок відповіді вчителя;

в) аналогічно працюють учні.

Роздільний та компактний методи застосовуються при вивченні визначень. Алгоритмічний може бути застосований тільки при вивченні труднозасвоюваних визначень (наприклад, необхідні та достатні умови). Найбільш широко алгоритмічний метод використовується для формування навичок розв'язання задач.

7. Методика закріплення математичних понять та пропозицій

1й прийом:

вчитель пропонує сформулювати та застосувати ті чи інші визначення, аксіоми, теореми, які зустрічаються в процесі вирішення завдань.

Наприклад: побудувати графік функції; визначення парної (непарної) функції; необхідну та достатню умову існування.

2й прийом:

вчитель пропонує сформулювати ряд визначень, теорем, аксіом під час фронтального опитування, про те, щоб повторити їх і заразом перевірити, чи пам'ятають їх учні. Цей прийом поза розв'язанням задач не ефективний. Можливо поєднувати фронтальне опитування зі спеціальними вправами, які вимагають від учнів уміння застосовувати визначення, теореми, аксіоми у різних ситуаціях, уміння швидко орієнтуватися за умови завдання.

Висновок

Знання визначення не гарантує засвоєння поняття. Методична робота з поняттями повинна бути спрямована на подолання формалізму, який проявляється в тому, що учні не можуть розпізнати об'єкт, що визначається, в різних ситуаціях, де він зустрічається.

Розпізнавання об'єкта, відповідного даному визначенню, і побудова контрприкладів можливе лише за ясному уявленні структури аналізованого визначення, під якою у схемі визначення () розуміють структуру правої частини.

Література

1. К.О. Ананченко «Загальна методика викладання математики в школі», Мн., «Університетське», 1997 р.

2. Н.М. Рогановський «Методика викладання в середній школі», Мн., «Вища школа», 1990

3. Р. Фройденталь "Математика як педагогічна задача", М., "Освіта", 1998 р.

4. Н.М. "Математична лабораторія", М., "Освіта", 1997 р.

5. Ю.М. Колягін «Методика викладання математики в середній школі», М., «Освіта», 1999

6. А.А. Столяр "Логічні проблеми викладання математики", Мн., "Вища школа", 2000

Подібні документи

Основи методик вивчення математичних понять. Математичні поняття, їх зміст та обсяг, класифікація понять. Психолого-педагогічні особливості навчання математики у 5-6 класах. Психологічні аспекти формування понять.

дипломна робота , доданий 08.08.2007


Сутність формування понять, його загальна схема та особливості, етапи реалізації та можливі шляхи. Класифікація понять та її методика для математичних дисциплін. Визначення як завершальний етап формування поняття, його різновиду та особливості.

реферат, доданий 24.04.2009


"Поняття" у психолого-педагогічній, філософській, навчально-методичній літературі. Види та визначення математичних понять у початковій математиці. Роль, функції класифікації для формування понять. Система формування математичних понять.

дипломна робота , доданий 23.11.2008


Психолого-педагогічні засади формування наукових понять. Сутність та джерела вітагенного навчання. Методи та прийоми виявлення та актуалізації вітагенного досвіду учнів. Формування наукових понять, як педагогічна проблема. Види наукових понять.

дипломна робота , доданий 13.12.2009


Аналіз основних математичних понять. Методика вивчення табличних випадків множення та поділу. Завдання для самостійної роботи учнів. Реалізація індивідуального підходу у навчанні. Вправи засвоєння таблиці множення, прийоми перевірки знань.

дипломна робота , доданий 13.12.2013


стаття, доданий 15.09.2009


Наочність як засвоєння граматичних понять. Система вивчення граматичних понять під час уроків російської з використанням наочності. Результати експерименту щодо визначення рівня вивчення граматичних понять молодшими школярами.

дипломна робота , доданий 03.05.2015


Компоненти математичних здібностей, ступінь їхнього прояву в молодшому шкільному віці, природні передумови та умови формування. Основні форми та методика проведення позакласної роботи: гурткові заняття, математичні вечори, олімпіади, ігри.

дипломна робота , доданий 06.11.2010


Методика ознайомлення учнів з аксіомами у курсі шкільної геометрії, традиційно-синтетичний координатно-векторний методи, роль аксіом у побудові шкільного курсу. Методика введення понять та теорем, схема вивчення ознак рівності трикутників.

реферат, доданий 07.03.2010


Особливості вивчення математики у початковій школі відповідно до Федерального державного освітнього стандарту початкової загальної освіти. Зміст курсу. Аналіз основних математичних понять. Сутність індивідуального підходу у дидактиці.

Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

Федеральне агентство з освіти

Державний освітній заклад вищої професійної освіти
Вятський державний гуманітарний університет

Математичний факультет

Кафедра математичного аналізу та методики викладання математики

Випускна кваліфікаційна робота

Особливості формування математичнихпонять у 5-6 класах

Виконав:

студентка V курсу математичного факультету

Бельтюкова Анастасія Сергіївна

Науковий керівник:

кандидат педагогічних наук, доцент, зав. кафедрою математичного аналізу та МПМ

М.В Крутіхіна

Рецензент:

кандидат педагогічних наук, доцент кафедри математичного аналізу та МПМ І .У Сітникова

Допущена до захисту у державній атестаційній комісії

«___» __________2005 р. Зав. кафедрою М.В. Крутихіна

• Вступ 3
• Глава 1 Основи методики вивчення математичних понять 5
• 5
• 8
• 9
• 10
• 11
• 13
• Глава 2 Психолого-педагогічні особливості навчання математики у 5-6 класах 15
• 15
• 18
• 22
• 28
• Розділ 3 Досвідчене викладання 36
• Висновок 44
• бібліографічний список 45

Вступ

Поняття одна із головних складових у змісті будь-якого навчального предмета, зокрема - і математики.

Одне з перших математичних понять, з яким дитина зустрічається в школі, - поняття про число. Якщо це поняття не буде засвоєно, у тих, хто навчається, виникнуть серйозні проблеми при подальшому вивченні математики.

З початку зустріч із поняттями відбувається в учнів щодо різних математичних дисциплін. Так, починаючи вивчати геометрію, учні відразу ж зустрічаються з поняттями: точка, лінія, кут, а далі – з цілою системою понять, пов'язаних із видами геометричних об'єктів.

Завдання вчителя – забезпечити повноцінне засвоєння понять. Однак у шкільній практиці це завдання вирішується негаразд успішно, як цього вимагають мети загальноосвітньої школи.

«Головний недолік шкільного засвоєння понять - формалізм», - вважає психолог Н.Ф.Тализина. Суть формалізму у тому, що учні, правильно відтворюючи визначення поняття, тобто, усвідомлюючи його зміст, не вміють користуватися ним під час вирішення завдань застосування цього поняття. Отже, формування понять - це важлива, акт у альна проблема.

Об'єкт дослідження: процес формування математичних понять у 5-6 класах.

Ціл ь роботи: розробити методичні рекомендації вивчення математичних понять у 5-6 класах.

Завдання роботи:

1. Вивчити математичну, методичну, педагогічну літературу на цю тему.

2. Виявити основні способи визначення понять у підручниках 5-6 класів.

3. Визначити особливості формування математичних понять у 5-6 класах.

Гіпотеза дослідження : Якщо в процесі формування математичних понять у 5-6 класах врахувати такі особливості:

· Поняття здебільшого визначаються за допомогою конструювання, і часто формування правильного уявлення про поняття у учнів досягається за допомогою пояснюючих описів;

· Вводяться поняття конкретно-індуктивним шляхом;

· Протягом всього процесу формування поняття велика увага приділяється наочності, цей процес буде ефективнішим.

Методи дослідження:

· Вивчення методичної та психологічної літератури по темі;

· Порівняння різних підручників з математики;

· Досвідчене викладання.

Глава 1
Основи методики вивчення математичних понять

1.1 Математичні поняття, їх зміст та обсяг, класифікація понять

Поняття - форма мислення про цілісну сукупність суттєвих та несуттєвих властивостей об'єкта.

Математичні поняття мають свої особливості: вони часто виникають із потреби науки і не мають аналогів у реальному світі; вони мають великий ступінь абстракції. З огляду на це бажано показати учням виникнення досліджуваного поняття (чи з потреби практики, чи з потреби науки).

Кожне поняття характеризується обсягом та змістом. Зміст - безліч суттєвих ознак поняття. Об `єм - безліч об'єктів, до яких можна застосувати дане поняття. Розглянемо зв'язок між обсягом та змістом поняття. Якщо зміст відповідає дійсності і включає суперечливих ознак, то обсяг - це порожня безліч, що важливо показати учням під час запровадження поняття. Зміст цілком визначає обсяг і навпаки. Значить, зміна одного тягне за собою зміну іншого: якщо зміст збільшується, то обсяг зменшується.

Зміст поняття ототожнюється з визначенням, а обсяг розкривається через класифікацію. Класифікація - розподіл множини на підмножини, які задовольняють наступним вимогам:

o повинно проводиться за однією ознакою;

o класи повинні бути такими, що не перетинаються;

o об'єднання всіх класів має давати все безліч;

o класифікація має бути безперервною (класами мають бути найближчі видові поняття стосовно поняття, яке підлягає класифікації).

Вирізняють такі види класифікації:

1. За видозміненою ознакою. Об'єкти, що підлягають класифікації, можуть мати кілька ознак, тому можна класифікувати по-різному.

приклад. Поняття "трикутник".

2. Дихотомічний. Розподіл обсягу поняття на два видових поняття, одне з яких має дану ознаку, а інше немає.

приклад .

2

Виділимо цілі навчання класифікації:

1) розвиток логічного мислення;

2) вивчаючи видові відмінності, ми становимо більш ясне уявлення про родове поняття.

Обидва види класифікації використовуються у школі. Як правило, спочатку дихотомічний, а потім за видозміненою ознакою.

1.2 Визначення математичних понять, первинні поняття, що пояснюють опис

Визначити об'єкт - вибрати з його суттєвих властивостей такі й стільки, щоб кожна з них була необхідною, а всі разом достатніми для відхилення цього об'єкта від інших. Результат цієї дії фіксується у визначенні.

Визначенням вважається таке формулювання, яке зводить нове поняття до вже відомих понять цієї області. Така інформація не може продовжуватися нескінченно, тому наука має первинні поняття які визначаються не явно, а побічно (через аксіоми). Список первинних понять неоднозначний, порівняно з наукою, у шкільному курсі первинних понять набагато більший. Основний прийом для роз'яснення, запровадження первинних понять - складання родоводів.

У шкільному курсі який завжди доцільно давати поняттям суворе визначення. Іноді досить сформувати правильне уявлення. Це досягається за допомогою пояс няючих описів - Доступних для учнів пропозицій, які викликають у них один наочний образ, і допомагають засвоїти поняття. Тут не ставиться вимога зведення нового поняття до раніше вивчених. Засвоєння має бути доведено такого рівня, щоб у подальшому, не згадуючи описи, учень міг дізнатися об'єкт, що належить до цього понятию.

1.3 Способи визначення понять

за логічну структуру визначення діляться на кон'юнктивні (істотні ознаки з'єднуються спілкою "і") та диз'юнктивні (істотні ознаки з'єднуються спілкою "або").

Виділення суттєвих ознак, зафіксованих у визначенні, та зафіксованих зв'язків між ними називається логіко-математичним аналізом визначення .

Існує підрозділ визначень на дескриптивні та конструктивні.

Дескриптивні - описові чи опосередковані визначення, мають, зазвичай, вид: «об'єкт називається…, якщо він має…». З таких визначень не випливає факт існування даного об'єкта, тому всі подібні поняття вимагають доказів існування. Серед них виділяють такі способи визначення понять:

· Через найближчий рідта видова відмінність. (Ромбом називається паралелограм, дві суміжні сторони якого рівні. Родовим виступає поняття паралелограма, з якого поняття, що визначається, виділяється за допомогою однієї видової відзнаки).

· Визначення-угоди- визначення, у яких властивості понять виражаються з допомогою рівностей чи нерівностей.

· Аксіоматичні визначення.У науці математиці використовуються часто, а шкільному курсі рідко й у інтуїтивно ясних понять. (Площа фігури - величина, чисельне значення якої задовольняє умовам: S(F)0; F 1 =F 2 S(F 1)=S(F 2); F=F 1 F 2 , F 1 F 2 = S(F )=S(F 1)+S(F 2); S(E)=1.)

· Визначення через абстракції.Вдаються до такого визначення поняття, коли інше важко чи неможливо здійснити (наприклад, натуральне число).

· Визначення-заперечення- визначення, у якому фіксується не наявність властивості, яке відсутність (наприклад, паралельні прямі).

Конструктивні (або генетичні) - це визначення, в яких вказується спосіб отримання нового об'єкта (наприклад, сферою називається поверхня, отримана обертанням півкола навколо свого діаметра). Серед таких визначень інколи виділяють рекурсивні- визначення, що вказують деякий базисний елемент будь-якого класу і правило, яким можна отримати нові об'єкти того ж класу (наприклад, визначення прогресії).

1.4 Методичні вимоги до визначення поняття

· Вимога науковості.

· Вимога доступності.

· Вимога сумірності (обсяг визначеного поняття повинен дорівнювати обсягу визначального поняття). Порушення цієї вимоги веде або дуже широкому, або дуже вузькому визначенню.

· Визначення не повинно містити порочного кола.

· Визначення мають бути ясними, точними, не містити метафоричних виразів.

· Вимога мінімальності.

1.5 Введення понять у шкільному курсі математики

p align="justify"> При формуванні понять необхідно організовувати діяльність учнів по засвоєнню двох основних логічних прийомів: підведення під поняття і виведення наслідків з факту належності об'єкта поняттю.

Дія підведення під поняття має таку структуру:

1) Виділення всіх властивостей, зафіксованих у визначенні.

2) Встановлення логічних зв'язків з-поміж них.

3) Перевірка наявності в об'єкта виділених властивостей та його зв'язків.

4) Отримання висновку про належність об'єкта обсягу поняття.

Виведення наслідків - це виділення суттєвих ознак об'єкта, що належить даному поняттю.

У методиці виділяють три шляхи введення понять :

1) Конкретно-індуктивний:

o Розгляд різних об'єктів як належать обсягу поняття, так і не належать.

o Виявлення суттєвих ознак поняття на основі порівняння об'єктів.

o Введення терміна, формулювання визначення.

2) Абстрактно-дедуктивний:

o Введення визначення учителем.

o Розгляд особливих та окремих випадків.

o Формування вміння підводити об'єкт під поняття та виводити первинні слідства.

При введенні поняття першим шляхом учні краще розуміють мотиви вступу, вчаться будувати визначення та розуміти важливість кожного слова у ньому. При введенні поняття другим шляхом економиться багато часу, що теж важливо.

3) Комбінований . Використовується для складніших понять математичного аналізу. За підсумками небагатьох конкретних прикладів дається визначення поняття. Потім шляхом вирішення завдань, у яких варіюються несуттєві ознаки, і шляхом зіставлення даного поняття з конкретними прикладами продовжується формування поняття.

1.6 Основні етапи вивчення поняття у школі

У літературі виділяють три основні етапи вивчення понять у школі:

1. При введення поняття використовується один із трьох вищевикладених способів. Під час цього етапу слід врахувати наступне:

· Насамперед, необхідно забезпечити мотивацію введення даного поняття.

· При побудові системи завдань на підведення під поняття забезпечити найповніший обсяг поняття.

· Важливо показати, що обсяг поняття - не пусте безліч.

· Розкрити зміст поняття, працювати над суттєвими ознаками, виділяючи несуттєві.

· Крім знання визначення, бажано, щоб учні мали зорове уявлення про поняття.

· Засвоєння термінології та символіки.

Підсумком цього етапу є формулювання визначення, засвоєння якого - зміст наступного етапу. Засвоїти визначення поняття означає опанувати діями розпізнавання об'єктів, що належать поняттю, виведення наслідків із належності об'єкта поняттю, конструювання об'єктів, які стосуються обсягу поняття.

2. На етапі засвоєння визначення продовжується робота над запам'ятовуванням визначення. Досягатися це може за допомогою наступних прийомів:

· Виписування визначень у зошит.

· Промовляння, підкреслення або якась нумерація істотних властивостей.

· Використання контрприкладів для виконання правил сумірності.

· Підбір відсутні слів у визначенні, пошук зайвих слів.

· Навчання наводити приклади та контрприклади.

· Навчання застосування визначення у найпростіших, але досить характерних ситуаціях, так як багаторазове повторення визначення поза розв'язанням задач неефективно.

· Вказати на можливість різних визначень, довести їхню еквівалентність, але для запам'ятовування вибрати лише одне.

· Вчити конструювати визначення, використовувати для цього складання родоводів, роз'яснюючи логічну структуру; знайомити із правилами побудови визначення.

· Подібні пари понять давати в порівнянні та зіставленні.

Таким чином, кожна істотна властивість поняття, що використовується у визначенні, на даному етапі робиться спеціальним об'єктом вивчення.

3.Наступний етап - закріплення . Поняття вважатимуться сформованим, якщо учні відразу дізнаються їх у завданні без будь-якого перебирання ознак, тобто процес підведення під поняття згорнуть. Досягти цього можна такими шляхами:

· Застосування визначення у складніших ситуаціях.

· Включення нового поняття у логічні зв'язки, відносини з іншими поняттями (наприклад, зіставлення родоводів, класифікацій).

· Бажано показати, що визначення дається не заради його самого, а для того, щоб воно «працювало» при вирішенні завдань та побудові нової теорії.

Розділ 2
Психолого-педагогічні особливості навчання математики у 5-6 класах

2.1 Особливості пізнавальної діяльності

Сприйняття. Школяр 5-6 класів має достатній рівень розвитку сприйняття. Він має високий рівень гостроти зору, слуху, орієнтування на форму і колір предмета.

Процес навчання висуває нові вимоги до сприйняття школяра. У процесі сприйняття навчальної інформації необхідні довільність та свідомість діяльності учнів. Спочатку дитину приваблює сам предмет і насамперед зовнішні яскраві ознаки. Але діти вже спроможні зосередитися і ретельно розглянути всі характеристики предмета, виділити в ньому головне, суттєве. Ця особливість проявляється у процесі навчальної діяльності. Вони можуть аналізувати групи фігур, упорядковувати предмети за різними ознаками, проводити класифікацію фігур за однією або двома властивостями цих фігур.

У школярів цього віку виникає спостереження як спеціальна діяльність, розвивається спостережливість як характеристика характеру.

Процес формування поняття - поступовий процес, перших стадіях якого значної ролі грає чуттєве сприйняття об'єкта.

Пам'ять. Школяр 5-6 класів здатний керувати своїм довільним запам'ятовуванням. Здатність до запам'ятовування повільно, але поступово зростає.

У віці пам'ять перебудовується, переходячи від домінування механічного запам'ятовування до смислового. При цьому перебудовується сама смислова пам'ять. Вона набуває опосередкованого характеру, обов'язково включається мислення. Тому необхідно учнів вчити правильно міркувати, щоб запам'ятовування базувався на розумінні запропонованого матеріалу.

Разом з формою змінюється і змістом запам'ятовування. Стає доступнішим запам'ятовування абстрактного матеріалу.

Увага. Процес оволодіння знаннями, вміннями, навичками вимагає постійного та ефективного самоконтролю учнів, що можливо лише за сформованості досить високого рівня довільної уваги.

Школяр 5-6 класів цілком може керувати своєю увагою. Він добре концентрує увагу на значній йому діяльності. Тому необхідно підтримувати інтерес школяра до вивчення математики. У цьому доцільно спиратися на допоміжні кошти (предмети, малюнки, таблиці).

У школі на уроках увага потребує підтримки з боку вчителя.

Уява. У процесі навчальної діяльності учень отримує багато описових відомостей. Це від нього постійного відтворення образів, яких неможливо зрозуміти і засвоїти навчальний матеріал, тобто. відтворюючу уяву учнів 5-6 класів від початку навчання включено в цілеспрямовану діяльність, сприяє його психічному розвитку.

При розвитку в дитини здатності керувати своєю розумовою діяльністю уяву стає дедалі керованим процесом.

У школярів 5-6 класів уява може перетворитися на самостійну внутрішню діяльність. Вони можуть програвати в розумі розумові завдання з математичними знаками, оперувати значеннями та смислами мови, поєднуючи дві вищі психічні функції: уяву та мислення.

Усі зазначені вище особливості створюють ґрунт у розвиток процесу творчої уяви, у якому велику роль грають спеціальні знання учнів. Ці знання становлять основу у розвиток творчої уяви й у наступні вікові періоди життя школяра.

Мислення. Все більшого значення починає набувати теоретичне мислення, здатність встановлювати максимальну кількість смислових зв'язків у навколишньому світі. Школяр психологічно занурений у реальності предметного світу, образно-знакових систем. Матеріал, що вивчається в школі, стає для нього умовою для побудови та перевірки своїх гіпотез.

У 5-6 класах у школяра виробляється формальне мислення. Школяр цього віку вже може розмірковувати, не пов'язуючи себе із конкретною ситуацією.

Вчені вивчали питання про розумові можливості школярів 5-6 класів. Через війну досліджень виявилося, що розумові можливості дитини ширше, ніж передбачалося раніше, і за створенні відповідних умов, тобто. за спеціальної методичної організації навчання, учень 5-6 класів може засвоїти абстрактний математичний матеріал.

Як видно з вищевикладеного, психічні процеси характеризуються віковими особливостями, знання та облік яких необхідні для організації успішного навчання та розумового розвитку учнів.

2.2 Психологічні аспекти формування понять

Звернемося до психологічної літератури та з'ясуємо основні положення концепції формування наукових понять.

У навчальному посібнику йдеться про неможливість передачі поняття у готовому вигляді. Дитина може одержати його лише в результаті своєї власної діяльності, спрямованої не на слова, а на ті предмети, поняття про які ми хочемо у нього сформувати.

Становлення понять - це процес формування як особливого зразка світу, а й певної системи дій. Дії, операції та складають психологічний механізм понять. Без них поняття не може бути ні засвоєним, ні застосованим надалі до вирішення завдань. Через це особливості сформованих понять неможливо знайти зрозумілі без звернення до дій, продуктом яких є. І необхідно формувати такі види дій, використовуваних щодо понять:

· Дія розпізнавання використовується, коли поняття засвоюється для розпізнавання об'єктів, що належать до даного класу. Ця дія може бути застосована при формуванні понять з кон'юнктивною та диз'юнктивною логічною структурою.

· Виведення наслідків.

· Порівняння.

· Класифікація.

· Дії, пов'язані із встановленням ієрархічних відносин всередині системи понять, та інші.

Розглядається також роль визначення поняття в процесі його засвоєння. Визначення - орієнтовна основа з метою оцінки предметів, із якими взаємодіє учня. Так, отримуючи визначення кута, учень може тепер аналізувати різні предмети з погляду наявності чи відсутності у яких ознак кута. Така реальна робота створює у голові учня образ предметів цього класу. Таким чином, отримання визначення - це лише перший крокна шляху засвоєння поняття.

Другий крок -включення визначення поняття в ті дії учнів, які вони виконують з відповідними об'єктами та за допомогою яких будують у своїй голові поняття про ці об'єкти.

Третій крокполягає в тому, щоб навчити школярів орієнтуватися на зміст визначення у виконанні різних дій з об'єктами. Якщо це не забезпечено, то в одних випадках учні спиратимуться на властивості, які вони самі виділили в об'єктах, в інших випадках діти можуть використовувати лише частину цих властивостей; по-третє - можуть додати до зазначених ухвал свої.

Умови, що забезпечують управління процесом засвоєння поняття й

1. Наявність адекватної дії: вона має бути спрямована на суттєві властивості.

2. Знання складу використовуваної дії. Наприклад, дія розпізнавання включає: а) актуалізацію системи необхідних та достатніх властивостей поняття; б) перевірку кожного з них у пропонованих об'єктах; в) оцінку одержаних результатів.

3. Представленість всіх елементів дій у зовнішній, матеріальну форму.

4. Поетапне формування введеної дії.

5. Наявність поопераційного контролю за засвоєння нових форм дії.

Н.Ф. Тализіна докладно зупиняється на поетапному формуванні понять. Після виконання 5-8 завдань із реальними предметами чи моделями учні без жодного заучування запам'ятовують і ознаки поняття, і правило дії. Потім дія перекладається у зовнішньомовну форму, коли завдання даються письмово, а ознаки понять, правила і розпорядження називаються чи записуються учнями з пам'яті.

У тому випадку, коли дія легко і правильно виконується у зовнішньомовній формі, її можна перевести у внутрішню форму. Завдання дається письмово, а відтворення ознак, їх перевірку, порівняння отриманих результатів із правилом учні роблять для себе. Спочатку контролюється правильність кожної операції та кінцевої відповіді. Поступово контроль здійснюється лише за кінцевим результатом у міру потреби.

Якщо дію виконується правильно, його переводять на розумовий етап: учень сам і виконує, і контролює дію. Контроль із боку учня передбачено лише за кінцевим продуктом дій. Допомога учень отримує за наявності труднощів чи невпевненості у правильності результату. Процес виконання тепер прихований, дія стала цілком розумовою.

Так поступово відбувається перетворення дії формою. Перетворення за узагальненістю забезпечується спеціальним підбором завдань

Подальше перетворення дії досягається повторюваністю однотипних завдань. Робити це доцільно лише на останніх етапах. На всіх інших етапах дається лише така кількість завдань, що забезпечує засвоєння впливу у цій формі.

Вимоги до змісту та форми завдань

1. При складанні завдань слід орієнтуватися на нові дії, які формуються.

2. Друга вимога до завдань – відповідність форми етапу засвоєння. Наприклад, на перших етапах об'єкти, з якими працюють учні, мають бути доступними для реального перетворення.

3. Кількість завдань залежить від мети і складності діяльності, що формується.

4. При доборі завдань необхідно враховувати, що перетворення дії йде не лише формою, а й у міру узагальненості, автоматизації тощо.

Було проведено багато експериментів, коли реалізовувалися зазначені умови. У всіх випадках, стверджує Н. Ф. Тализіна, поняття формувалися не лише із заданим змістом, а й високими показниками за такими характеристиками:

· Розумність дій піддослідних;

· Усвідомленість засвоєння;

· Упевненість учнів у знаннях та діях;

· Відсутність пов'язаності чуттєвими властивостями предметів;

· Узагальненість понять та дій;

· Міцність сформованих понять та дій.

Отже, у дитини поступово формується певний образ предметів цього класу. Поняття дійсно не можна дати у готовому вигляді, воно може бути побудоване лише самим учнем шляхом виконання певної системи дій із предметами. Вчитель допомагає учневі сформувати цей образ із змістом, випереджаючим суттєві властивості предметів даного класу, і ставить суспільно вироблену думку на предмети, із якими працює учень. Поняття - це продукт дій, виконуваних учнем із предметами цього класу.

2.3 Деякі педагогічні особливості навчання математики у 5-6 класах

Провідною ідеєю сучасної концепції шкільної освіти є ідея гуманізації, що ставить у центр процесу навчання учня з його інтересами та можливостями, що вимагає врахування особливостей його особистості. Головними напрямами математичної освіти є посилення загальнокультурного звучання та підвищення його значущості для формування особистості підростаючої людини. Основні ідеї, покладені основою курсу математики 5-6 класу - це загальнокультурна орієнтація змісту, інтелектуальний розвиток учнів засобами математики на матеріалі, що відповідає інтересам та можливостям дітей 10-12 років.

Курс математики 5-6 класів – важлива ланка математичної освіти та розвитку школярів. На цьому етапі закінчується в основному навчання рахунку на безлічі раціональних чисел, формується поняття змінної і даються перші знання про прийоми розв'язання лінійних рівнянь, продовжується навчання розв'язання текстових завдань, удосконалюються та збагачуються вміння геометричних побудов та вимірів. Серйозна увага приділяється формуванню вміння розмірковувати, робити прості докази, давати обгрунтування виконуваних дій. Паралельно закладаються основи вивчення систематичних курсів стереометрії, фізики, хімії та інших суміжних предметів.

Курс математики 5-6 класів є органічною частиною всієї шкільної математики. Тому основною вимогою до його побудови є структурування змісту на єдиній ідейній основі, яка, з одного боку, є продовженням та розвитком ідей, реалізованих під час навчання математики у початковій школі, і, з іншого боку, служить подальшому вивченню математики у старших класах.

Продовжується розвиток всіх змістовно-методичних ліній курсу початкової математики: числової, алгебраїчної, функціональної, геометричної, логічної, аналіз даних. Вони реалізовані на числовому, алгебраїчному, геометричному матеріалі.

Останнім часом суттєво переглянуто вивчення геометрії. Метою вивчення геометрії у 5-6 класах є пізнання навколишнього світу мовою та засобами математики. За допомогою побудов та вимірювань учні виявляють різні геометричні закономірності, які формулюють як речення, гіпотезу. Доказовий аспект геометрії у проблемному плані - учням прищеплюється думка, що експериментальним шляхом можна відкрити багато геометричні факти, але ці факти стають математичними істинами лише тоді, коли вони встановлені засобами, прийнятими в математиці.

Таким чином, геометричний матеріал у цьому курсі може бути охарактеризований як наочно-діяльнісна геометрія. Навчання організується як процес інтелектуально-практичної діяльності, спрямованої на розвиток просторових уявлень, образотворчих умінь, розширення геометричного кругозору, у ході якого найважливіші властивості геометричних фігур виходять за допомогою досвіду та здорового глузду.

Досить новою в курсі 5-6 класів є змістова лінія. Аналіз даних », яка поєднує у собі три напрями: елементи математичної статистики, комбінаторику, теорію ймовірностей. Введення цього матеріалу продиктовано життям. Його вивчення спрямовано формування у школярів як загальної імовірнісної інтуїції, і конкретних способів оцінки даних. Основне завдання у цій ланці - формування відповідного словника, навчання найпростішим прийомам збору, подання та аналізу інформації, навчання розв'язання комбінаторних завдань перебором можливих варіантів, створення елементарних уявлень про частоту та ймовірність випадкових подій.

Проте ця лінія присутня не у всіх сучасних шкільних підручниках для 5-6 класів. Особливо докладно та яскраво представлена ​​дана лінія у підручниках.

Алгебраїчний матеріал, включений до курсу математики 5-6 класів, є основою для систематичного вивчення алгебри у старших класах. Можна відзначити такі особливості вивчення цього матеріалу алгебри:

1. Вивчення алгебраїчного матеріалу засноване на науковій основі з урахуванням вікових особливостей та можливостей учнів.

2. Формування алгебраїчних понять та вироблення відповідних умінь та навичок складають єдиний процес, побудований на детально розробленій системі вправ.

3. Система вправ служить надійним засобом оволодіння сучасним математичним мовою, оскільки ця мова широко застосовується при формулюванні різних завдань. Наприклад, «Докажіть, що ця нерівність вірна: 29 2<1000».

4. Удосконалення обчислювальних навичок органічно пов'язане з вивченням матеріалу алгебри.

У 5-6 класах наголошується на розвиток обчислювальної культури, зокрема, на навчання евристичним прийомам прикидки та оцінки результатів дій, перевірки їх на правдоподібність. Підвищено увагу до арифметичних прийомів рішення текстових завдань як засобу навчання методам міркування, вибору стратегії вирішення, аналізу ситуації, зіставленню даних і, зрештою, розвитку мислення учнів.

Точесні перетворення алгебраїчних виразів, що вивчаються в цей час, зі змінними широко застосовуються для функціональної пропедевтики. Значне місце у курсі математики середньої школи приділяється матеріалу функціонального характеру. Визначення функції вводиться у 7 класі, а функціональна пропедевтика починається з 5 класу, де розглядається поняття змінної, вирази зі зміною, формули, що задає залежності між деякими величинами.

Використання літерних позначень дозволяє порушувати питання про побудову формул. Зв'язки між величинами задаються також табличним та графічним способами, і діти тренуються у переході від однієї форми завдання залежності до іншої. Систематична робота з конкретними залежностями забезпечує готовність дітей до вивчення функцій у старших класах.

Методи . Курс математики 5-6 класів побудовано індуктивно. Зміст навчального матеріалу змушує використовувати методи, які б формуванню як продуктивної, і репродуктивної діяльності.

У 5-6 класах найчастіше застосовують такі методи навчання:

· Пояснювально-ілюстративний. Цілий ряд понять математики 5-6 класів можна ввести даним методом. За допомогою його може бути вивчений матеріал, який є логічним продовженням та розширенням основного матеріалу. Цим методом можна вивчати конкретні алгоритми. Також вивчаються пояснювально-ілюстративним методом відомості, якими можна скористатися як готовими (сформованими в початковій школі) знаннями, але такими, що отримують нове застосування. Мета вивчення матеріалу пояснювально-ілюстративним методом – довести знання правил, законів, алгоритмів тощо. рівня навички.

· Частково-пошуковий та проблемний методи. Основні поняття курсу мають бути вивчені методами, які б забезпечували творчий (продуктивний) характер діяльності учнів. До таких методів, цілком застосовних у 5-6 класах, можна віднести частково-пошуковий. Цим методом можуть бути вивчені поняття: змінна, правильна та неправильна нерівність тощо.

Урок . Особливості предмета математики 5-6 класів (майже кожному уроці необхідно вивчати нові факти з предмета), вимога програми, темп вивчення матеріалу призвели до того, що найпоширеніший тип уроку цих класах - комбінований.

Перелічимо ще деякі особливості навчання математики у 5-6 класах:

· На початку вивчення математики в 5 класі учні повторюють відомі їм з 1-4 класів поняття, але повторення це ведеться на новому рівні, із залученням математичної термінології та символіки. Робиться це у тому, щоб закласти основи математичної мови, основи математичної культури.

· У курсі 5-6 класів часто вдаються при викладі арифметики та почав алгебри до геометричних визначень за допомогою координатної прямої або променя, що дозволяє зробити навчання більш наочним, а отже, більш доступним та зрозумілим для учнів. Подібним чином, наприклад, вивчається порівняння звичайних та десяткових дробів.

· Однією з особливостей даного курсу є лінійно-концентричний виклад матеріалу, відповідно до якого учні неодноразово повертаються до всіх принципових питань, піднімаючись у кожному наступному проході нового рівня.

Приклад, щодо теми «Десятичні дроби і відсотки» відбувається перехід від безлічі цілих неотрицательных чисел до безлічі раціональних неотрицательных; при цьому навчання будується з опорою на відомі учням алгоритми дій з натуральними числами, постійно використовуються знання та вміння, отримані раніше.

· Перша складність, з якою зустрічаються п'ятикласники, - робота з пояснювальним текстом підручника. Причина цього - недостатня техніка читання в деяких дітей, малий словниковий запас, а також те, що в підручниках початкової школи такі об'ємні тексти не зустрічалися.

Протягом усього часу навчання у 5-х та 6-х класах вчителю математики необхідно систематично розвивати у дітей вміння читати, розуміти текст, працювати з ним. Ця робота є необхідною базою для успішного вивчення систематичних курсів алгебри та геометрії у наступних класах.

· Вивчення математики потребує активних розумових зусиль. Дуже важко підтримувати довільну увагу учнів протягом уроку. Напружена розумова діяльність, велика кількість однотипних і рутинних обчислень або алгебраїчних перетворень швидко втомлює школярів. Існує універсальний спосіб підтримування робочого тонусу учнів: перемикання з однієї виду навчальної діяльності в інший. Але можна скористатися і порадою Блеза Паскаля: «Предмет математики настільки серйозний, що корисно не упускати випадків робити його трохи цікавим». Ця порада особливо актуальна під час навчання математики в 5-6 класах. Втім, це теж один із різновидів перемикання.

2.4 Особливості формування математичних понять у 5-6 класах

Будь-яке поняття, зокрема і математичне, є абстракцією від багатьох конкретних об'єктів, які описуються ним. У понятті відображаються стійкі властивості об'єктів, що вивчаються, явищ. Ці властивості повторюються в усіх об'єктів, які поєднуються поняттям. Але кожен реальний об'єкт має деякі інші властивості, властиві лише йому. Відмінність у несуттєвих властивостях лише відтіняє, підкреслює суттєві.

Якщо початкових класах навчання ведеться переважно на наочно образному рівні мислення, то 5-6 класах глибше розвивається словесно-логічне мислення. Змістом такого мислення є поняття, сутність яких «вже зовнішні, конкретні, наочні ознаки предметів та його відносини, а внутрішні, найбільш істотні властивості предметів і явищ і співвідношення з-поміж них».

Усі поняття, вивчені в початкових класах, надалі переосмислюються більш високому теоретичному рівні (змінна, рівняння, постать та інших.) чи поглиблюються і узагальнюються (поняття число, алгоритми арифметичних процесів, закони арифметичних процесів та інших.).

Не завжди є можливість та й необхідність формувати визначення по конструкції: 1) вказується рід; 2) вказуються ті ознаки, які відрізняють цей вид (визначене поняття) з інших видів найближчого роду. Учнів навчають на наочно-інтуїтивній основі розуміти значення суттєвих і несуттєвих ознак для розкриття суті поняття, що визначається, тобто достатньо сформувати правильне уявлення. У курсі математики 5-6 класів це часто досягається за допомогою поясн я ю щи х описів - Доступних для учнів пропозицій, які викликають у них один наочний образ, і допомагають засвоїти поняття. Тут не ставиться вимога зведення нового поняття до раніше вивчених. Засвоєння має бути доведено такого рівня, щоб у подальшому, не згадуючи описи, учень міг дізнатися об'єкт, що належить до цього понятию. Приклад, що пояснюють описи багатокутника, багатогранника, відстані, симетрій, натурального числа та ін.

Більшість дітей 5-го класу сприймає пояснювальний текст підручника, формулювання визначень та правил цілком однорідними - їм важко знайти визначуване та визначальне поняття, вказівку на математичні властивості математичного об'єкта. Саме цим значною мірою пояснюються труднощі у заучуванні та вірному відтворенні теоретичних положень, правил дій: усі слова учневі здаються однаково важливими (чи однаково неважливими?), а тому заучування відбувається суто механічно, і втрата чи заміна залишаються ним непоміченими.

Головне у роботі з визначеннями у 5-6 класах - показувати учням відмінність визначень з інших пропозицій, виділених у підручнику жирним шрифтом; вивчати їх аналізувати конструкцію визначень; індуктивним способом формувати визначення основних понять.

Якщо учні в 5-6 класах отримають необхідні навички у роботі з визначеннями, розумітимуть прості логічні міркування та відрізнятимуть логічні конструкції різних математичних речень, вони зможуть вивчати курс математики старших класів більш усвідомлено.

Визначення розглядаються у найпростішому варіанті через рід та вид. Формування поняття докази спирається на реальні життєві уявлення необхідність обгрунтування, її переконливості міркувань. Цей початковий етап поступово змінюється уявленнями про доказ, адекватний математики.

Проаналізувавши підручники для 5-6 класів, побачимо, що аксіоматичні визначення відсутні, геометричні поняття здебільшого визначаються через конструювання, алгебраїчним поняттям, в основному, даються визначення-угоди, що пояснює опис.

Наведемо порівняльне відсоткове співвідношення визначень, що даються у підручниках. У присутності 53% визначень-угод, 20% - пояснювальних описів, 27% - конструктивних визначень, а визначень-угод - 33%, пояснювальних описів - 32%, конструктивних визначень - 35%. Відмінності пояснюються великою кількістю геометричних понять, що вводяться у .

Вводити поняття цьому етапі навчання слід конкретно-индуктивным шляхом, приділяючи велику увагу мотивації вступу. Для засвоєння понять у віці психологи радять давати 10-12 завдань.

Розглянемо конкретні приклади.

Кут 2

На кожному з малюнків знайдіть та назвіть промені та їх початку. Що таке "промінь"? Чи є у променя початок?

Ви знаєте, що таке багатокутник (рис.8). Які елементи багатокутника можна назвати? (Сторони, вершини). Виявляється, що багатокутник існують ще елементи. Сьогодні нам і належить їх вивчити. Зверніть свою увагу на рис.4, ви бачите два промені із загальним початком, разом вони становлять єдину фігуру. І щоб не ділити її на частини, давніми було дано цій фігурі особливу назву - "кут".

Які ж отримують фігуру, звану кутом?

1. Беруть довільну точку (у разі це точка О);

2. Проводять два промені з початком у цій точці (ОА, ОВ).

Таким чином, кутом називають фігуру, утворену двома променями, що виходять із однієї точки (хлопці можуть сформулювати визначення самі!). Промені, що утворюють кут, називають сторонами кута, а точку, з якої вони виходять, - вершиною кута.

На малюнку сторонами кута є промені ОА і ОВ, яке вершиною - точка О. Цей кут позначають так:<АОВ. При записи угла в середине пишут букву, обозначающую его вершину. Угол можно обозначать и одной буквой (название его вершины): <О.

Завдання 1: На кожному з малюнків (рис.1 - мал.7) виберіть кути і правильно назвіть їх.

Завдання 2: Виберіть правильне позначення наступних кутів.

а)

Б)

в)

г)

Д)<С

Завдання 3: Напишіть у зошиті позначення наступних кутів. І змалюйте їх.

Завдання 4: Накресліть довільні кути:

Давайте розглянемо, як можуть розташовуватися точки на площині щодо даного кута.

На малюнку зображено кут F.

Точки C,D лежать усередині кута F.

Точки X,Y лежать поза кутом F.

Точки M,K – на сторонах кута F.

Завдання 5: Накресліть кут О і зобразіть такі точки:

А) А, В, С - усередині кута;

Б) D, F, E, K - на сторонах кута;

В) M, P, S, T - поза кутом О.

Завдання 6: Накресліть кут MOD і проведіть усередині нього промінь ВІД. Назвіть та позначте кути, на які цей промінь ділить кут MOD.

Завдання 7: Накресліть 4 промені: ОА, ОВ, ОС, OD. Запишіть назви шести кутів, сторонами яких є ці промені.

Найбільший спільний дільник.

Завдання 1: Чи правильно, що:

А) 5 – дільник 45; Б) 16 – дільник 8; В) 17 – дільник 172?

Завдання 2: Назвіть усі дільники чисел:

А) 6; Б) 18; В) 125; Р) 19.

Завдання 3 : Виберіть найбільше з чисел:

А) 1, 5, 3, 8, 12, 4; Б) 15, 30, 45, 90.

Завдання 4: На скільки рівних купок можна розкласти 36 горіхів?

Потім вчитель ставить питання, подібні до наступних (учні повинні згадати, що таке «натуральне число» і «ділитель натурального числа»):

· Яке число називають дільником даного натурального

Дід Мороза має 48 цукерок «Ластівка» та 36 цукерок «Чебурашка», йому необхідно скласти найбільшу кількість однакових подарунків для дітей, використовуючи всі цукерки.

Як йому бути? Сьогодні ви дізнаєтесь, як можна швидко допомогти Діду Морозу.

1. Дільники 6 : 1, 2, 3, 6 – натуральні числа.

Дільники 18 : 1, 2, 3, 6, 18 - натуральні числа

2. Дільники 15 : 1, 3, 5, 15 - натуральні числа

Дільники 30: 1, 3, 5, 15, 2, 6, 10, 30 - натуральні числа

3. Дільники 40: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 – натуральні числа.

Дільники 18: 1, 2, 3, 6, 18 – натуральні числа.

Як бачимо, у всіх випадках виділені спільні дільники двох натуральних чисел, і із цих спільних дільників вибрано найбільше натуральне число.

Повернемося на допомогу Діду Морозу. На яку однакову кількість подарунків можна поділити 48 цукерок «Ластівка»? Щоб відповісти на це питання, потрібно виписати всі дільники числа 48.

48: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 24, 48.

На яку кількість подарунків можна розділити 36 цукерок «Чебурашка»? Щоб відповісти на це питання, потрібно виписати всі дільники числа 36.

36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Але Дідові Морозу необхідно скласти абсолютно однакові подарунки, тому йому потрібно вибрати спільні дільники чисел 48 та 36.

Загальні дільники чисел 48 та 36: 1, 2, 3. 6, 12.

Вибравши найбільше натуральне число із загальних дільників чисел 48 та 36, Дід Мороз становитиме найбільшу кількість однакових подарунків для дітей. Таким числом буде число 12.

Отже, Діду Морозу можна скласти 12 подарунків, у кожному з яких буде 4 цукерки «Ластівка» (48:12=4) та 3 цукерки «Чебурашка» (36:12=3).

Отже, найбільше натуральне число, яке діляться без залишку числа a і b , називається найбільшим спільним дільником цих чисел .

Завдання 1. Знайдіть усі спільні дільники чисел:

А) 18 та 60; Б) 72, 98 та 120; В) 35 та 88.

Завдання 2. Випишіть спільні дільники чисел a і b і знайдіть їх найбільший спільний дільник, якщо:

А) Дільники а: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Дільники b : 1, 2. 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30. 45, 90

Б) Дільники а: 1, 2, 3. 6, 18

Дільники b : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Завдання 3: Знайдіть розкладання на прості множники найбільшого загального дільника чисел a і b , якщо:

а) а =2 · 2 · 3 · 3 і b = 2 · 3 · 3 · 5;

Б) а= 5·5·7·7·7 та b = 3·5·7·7.

Завдання 4: Знайдіть найбільший спільний дільник чисел:

А) 12 та 18; Б) 50 та 175.

Завдання 5: Діти на новорічній ялинці отримали однакові подарунки. У всіх подарунках разом було 123 апельсини та 82 яблука. Скільки хлопців було на ялинці?

Розділ 3
Досвідчене викладання

На теоретичній основі, представленій у попередніх розділах, було розроблено та проведено урок у 5 класі Талицької СШ Фалінського району. Далі наведено конспект цього уроку.

Клас: 5.

Кількість уроків у розділі: 26

Тема урока:«Долі. Прості дроби».

Тип уроку:урок вивчення нового матеріалу

Номер уроку у розділі«Звичайні дроби»: 5

Цілі:

Освітні:

· створити умови для засвоєння учнями поняття частки, звичайного дробу, чисельника та знаменника;

· навчити застосовувати дроби під час вирішення різних завдань.

Розвиваючі:

· Розвиток пізнавального інтересу та грамотної математичної мови;

· Розвиток логічного мислення.

Виховні:

· Виховання дисциплінованості;

· Виховання акуратності.

Обладнання:наочний посібник у вигляді розрізаного яблука, картки із завданням (роздати перед уроком).

Література:.

План уроку:

1. Організаційний етап.

2. Актуалізація знань.

3. Етап вивчення нового матеріалу:

1) Введення поняття частки, половини, третини, чверті.

2) Засвоєння поняття частки.

3) Введення поняття дробу.

4) Засвоєння поняття дробу.

4. Етап закріплення дослідженого.

5. Етап постановки домашнього завдання

6. Підбиття підсумків уроку

Хід уроку:

			Дошка/зошит
1 .	Вітаю! Сідайте, хлопці, будь ласка! Сьогодні ми займемося вивченням особливих чисел, які називаються звичайними дробами.		«Дата» Класна робота.
	А спочатку давайте пригадаємо, що таке натуральне число? Навіщо застосовуються натуральні числа? Правильно.	Натуральні числа використовуються для рахунку предметів.
		1) Уявіть, що у вас є 5 яблук. І вам необхідно поділити їх порівну між п'ятьма друзями. Скільки яблук дістанеться кожному? Правильно. А якщо мама купила один кавун і розрізала його на 6 рівних частин: бабусі, дідусеві, татові, двом дітям і собі, то ці рівні частини будуть називатися частками . Оскільки кавун розділили на 6 часткою, то кожен отримав «частку кавуна» або «кавуна». Тепер накресліть, будь ласка, у зошиту відрізок АВ завдовжки 5 см. Яку частку відрізка АВ складатиме відрізок завдовжки 1 см.? Нехай у кожного з вас, хлопці, є по яблуку. Як ви діятимете, якщо я попрошу вас відрізати від яблука половину? Має рацію той, хто розділить яблуко на дві частки, тому що половиною називається частка, - третю, а - чвертю. Наприклад, половиною години є 30 хв, чвертю-15 хв, третиною-20 хв 2) Яблуко розрізали на 8 часток, з'їли 3 частини. Скільки часток залишилося? Ці 5 часток позначають «яблука» Ще один приклад. А в цьому випадку скільки часток залишилося? Зараз зверніть увагу на рисунок. На ньому прямокутника зафарбовано, а яку частину прямокутника не зафарбовано? Записи виду: називають звичайними дробами . Верхню частину дробу називають чисельником, а нижню - знаменником. Повернемося до малюнка, у якому зображено яблука. Що в даному дробі є чисельником, а що - знаменником?

Подібні документи

Сутність формування понять, його загальна схема та особливості, етапи реалізації та можливі шляхи. Класифікація понять та її методика для математичних дисциплін. Визначення як завершальний етап формування поняття, його різновиду та особливості.

реферат, доданий 24.04.2009


Етапи формування математичних понять щодо математики у шкільництві. Типові помилки, які у учнів щодо понять. Методика роботи над математичним визначенням, етапи вивчення. Педагогічні прийоми запровадження понять.

реферат, доданий 07.03.2010


"Поняття" у психолого-педагогічній, філософській, навчально-методичній літературі. Види та визначення математичних понять у початковій математиці. Роль, функції класифікації для формування понять. Система формування математичних понять.

дипломна робота , доданий 23.11.2008


Психолого-педагогічні особливості учнів 5-6 класів, специфіка формування вони математичних понять. Психологічні особливості засвоєння дробів. Порівняльний аналіз методичних підходів до вивчення теми "Дроби", їх переваги та недоліки.

дипломна робота , доданий 22.07.2011


Психолого-педагогічні засади формування наукових понять. Сутність та джерела вітагенного навчання. Методи та прийоми виявлення та актуалізації вітагенного досвіду учнів. Формування наукових понять, як педагогічна проблема. Види наукових понять.

дипломна робота , доданий 13.12.2009


стаття, доданий 15.09.2009


Особливості вивчення математики у початковій школі відповідно до Федерального державного освітнього стандарту початкової загальної освіти. Зміст курсу. Аналіз основних математичних понять. Сутність індивідуального підходу у дидактиці.

курсова робота , доданий 29.09.2016


Психолого-педагогічні засади розвитку обдарованих учнів у процесі навчання математики. Методичні особливості постановки навчання математики у 5-6 класах, спрямованого на розвиток обдарованих дітей. Реалізація цих цілей у позакласній роботі.

дипломна робота , доданий 19.04.2011


Проблема розуміння текстових повідомлень у психолінгвістичних та психолого-педагогічних дослідженнях. Сучасні уявлення про текст у методиці шкільного навчання. Особливості лексики молодших школярів. Психологія процесу формування понять.

курсова робота , доданий 18.08.2011


Формування понять зворотних тригонометричних функцій, і навіть розробка методики навчання цієї теми у школах і класах з поглибленим вивченням математики. Використання інформаційних технологій щодо зворотних тригонометричних функцій.

Лекція №2

з математики

Тема: "Математичні поняття"

Математичні поняття

Визначення понять

Вимоги до визначення понять

Деякі види визначень

1. Математичні поняття

Поняття, які вивчаються в початковому курсі математики, зазвичай представляють у вигляді чотирьох груп. У першу включаються поняття, пов'язані з числами та операціями над ними: число, додавання, доданок, більше та ін. У другу входять алгебраїчні поняття: вираз, рівність, рівняння та ін. буд. Четверту групу утворюють поняття, пов'язані з величинами та їх виміром.

Як же вивчити таку різноманітність різних понять?

Насамперед, треба мати уявлення про поняття як логічну категорію та особливості математичних понять.

У логіці поняття розглядають як форму думки, що відображає об'єкти (предмети чи явища) у їх суттєвих та загальних властивостях. Мовною формою поняття є слово чи група слів.

Скласти поняття про об'єкт - це означає вміти відрізнити його від інших схожих з ним об'єктів. Математичні поняття мають низку особливостей. Головна полягає в тому, що математичні об'єкти, про які необхідно скласти поняття, насправді не існують. Математичні об'єкти створені розумом людини. Це ідеальні об'єкти, що відбивають реальні предмети чи явища. Наприклад, у геометрії вивчають форму та розміри предметів, не зважаючи на інші їх властивості: колір, масу, твердість тощо. Від цього відволікаються, абстрагуються. Тому в геометрії замість слова "предмет" кажуть "геометрична фігура".

Результатом абстрагування є такі математичні поняття, як «число» і «величина».

Взагалі математичні об'єкти існують лише у мисленні людини й у знаках і символах, які утворюють математичну мову.

До сказаного можна додати, що, вивчаючи просторові форми і кількісні відносини матеріального світу, математика як користується різними прийомами абстрагування, а й саме абстрагування постає як многоступенчатый процес. У математиці розглядають як поняття, що виникли щодо реальних предметів, а й поняття, що виникли з урахуванням перших. Наприклад, загальне поняття функції як відповідності узагальнення понять конкретних функцій, тобто. абстракції від абстракцій.

Щоб оволодіти загальними підходами до вивчення понять у початковому курсі математики, вчителю необхідні знання про обсяг і зміст поняття, про відносини між поняттями та види визначень понять.

2. Обсяг та зміст поняття. Відносини між поняттями

Кожен математичний об'єкт має певні властивості. Наприклад, квадрат має чотири сторони, чотири прямі кути, рівні діагоналі. Можна вказати інші його властивості.

Серед властивостей об'єкта розрізняють суттєві та несуттєві. Властивість вважають суттєвим для об'єкта, якщо воно притаманне цьому об'єкту і без нього він не може існувати. Наприклад, для квадрата суттєвими є властивості, названі вище. Несуттєва для квадрата ABCD властивість "сторона AD горизонтальна". Якщо квадрат повернути, то сторона AD виявиться розташованою інакше (рис. 26).

Тому, щоб розуміти, що є даний математичний об'єкт, треба знати його суттєві властивості.

Коли говорять про математичне поняття, зазвичай мають на увазі безліч об'єктів, що позначаються одним терміном (словом або групою слів). Так, говорячи про квадрат, мають на увазі всі геометричні фігури, які є квадратами. Вважають, що багато всіх квадратів становить обсяг поняття «квадрат».

Взагалі Обсяг поняття - це безліч всіх об'єктів, що позначаються одним терміном.

Будь-яке поняття має як обсяг, а й зміст.

Розглянемо, наприклад, поняття прямокутник.

Обсяг поняття - це безліч різних прямокутників, а його зміст входять такі властивості прямокутників, як «мати чотири прямих кута», «мати рівні протилежні сторони», «мати рівні діагоналі» тощо.

Між обсягом поняття та його змістом існує взаємозв'язок: якщо збільшується обсяг поняття, то зменшується його зміст і навпаки. Так, наприклад, обсяг поняття «квадрат» є частиною обсягу поняття «прямокутник», а зміст поняття «квадрат» містить більше властивостей, ніж зміст поняття «прямокутник» («всі сторони рівні», «діагоналі взаємно перпендикулярні» та інших. ).

Будь-яке поняття не можна засвоїти, не усвідомивши його взаємозв'язку коїться з іншими поняттями. Тому важливо знати, у яких відносинах можуть бути поняття, і вміти встановлювати ці зв'язки.

Відносини між поняттями тісно пов'язані з відносинами між їх обсягами, тобто. множинами.

Умовимося поняття позначати малими літерами латинського алфавіту: а, b, с,..., z.

Нехай задані два поняття а та b. Обсяги їх позначимо відповідно до А і В.

Якщо А В (А ≠ В), то кажуть, що поняття а - видове по відношенню до поняттяb, а поняття b- родове по відношенню до поняття а.

Наприклад, якщо а – «прямокутник», b – «чотирикутник», то їх обсяги А та В знаходяться щодо включення (А В і А ≠ В), оскільки кожен прямокутник є чотирикутником. Тому можна стверджувати, що поняття "прямокутник" - видове по відношенню до поняття "чотирикутник", а поняття "чотирикутник" - родове по відношенню до поняття "прямокутник".

Якщо А = В, то кажуть, що поняття а іbтотожні.

Наприклад, тотожні поняття «рівносторонній трикутник» та «рівнокутний трикутник», оскільки їх обсяги збігаються.

Якщо множини А і В не пов'язані ставленням включення, то кажуть, що поняття а і b не є родом і видом і не тотожні. Наприклад, не пов'язані такими відносинами поняття «трикутник» та «прямокутник».

Розглянемо докладніше відношення роду та виду між поняттями. По-перше, поняття роду і виду відносні: те саме поняття може бути родовим по відношенню до одного поняття і видовим по відношенню до іншого. Наприклад, поняття "прямокутник" - родове по відношенню до поняття "квадрат" і видове по відношенню до поняття "чотирикутник".

По-друге, для цього поняття часто можна зазначити кілька родових понять. Так, для поняття "прямокутник" родовими є поняття "чотирикутник", "паралелограм", "багатокутник". Серед них можна вказати найближче. Для поняття «прямокутник» найближчим є поняття «паралелограм».

По-третє, видове поняття має всі властивості родового поняття. Наприклад, квадрат, будучи видовим поняттям по відношенню до поняття «прямокутник», має всі властивості, властиві прямокутнику.

Так як обсяг поняття - безліч, зручно, встановлюючи відносини між обсягами понять, зображати їх за допомогою кіл Ейлера.

Встановимо, наприклад, відносини між наступними парами понять а та Ь, якщо:

1) а – «прямокутник», b – «ромб»;

2) а – «багатокутник», b – «паралелограм»;

3) а – «пряма», b – «відрізок».

У разі 1) обсяги понять перетинаються, але не одна множина не є підмножиною іншої (рис. 27).

Отже, можна стверджувати, що дані поняття а та b не знаходяться щодо роду та виду.

У разі 2) обсяги даних поняття перебувають у відношенні до включення, але не збігаються - кожен паралелограм є багатокутником, але не навпаки (рис. 28). Отже, можна стверджувати, що поняття «паралелограм» - видове по відношенню до поняття «багатокутник», а поняття «багатокутник» - родове по відношенню до поняття «паралелограм».

У разі 3) обсяги понять не перетинаються, оскільки ні про один відрізок не можна сказати, що він є прямим, і жодна пряма не може бути названа відрізком (рис. 29).

Отже, дані поняття немає щодо роду і виду.

Про поняття «пряма» та «відрізок» можна сказати, що вони знаходяться щодо цілого та частини:відрізок-частина прямий, а чи не її вид. І якщо видове поняття має всі властивості родового поняття, то частина не обов'язково має всі властивості цілого. Наприклад, відрізок не має таку властивість пряму, як її нескінченність.