парної, якщо за всіх \(x\) з її області визначення правильно: \(f(-x)=f(x)\) .
Графік парної функції симетричний щодо осі \(y\):
Приклад: функція \ (f (x) = x ^ 2 + \ cos x \) є парною, т.к. \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Функція \(f(x)\) називається непарною, якщо за всіх \(x\) з її області визначення правильно: \(f(-x)=-f(x)\) .
Графік непарної функції симетричний щодо початку координат:
Приклад: функція \ (f (x) = x ^ 3 + x \) є непарною, т.к. \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Функції, що не є ні парними, ні непарними, називаються функціями загального вигляду. Таку функцію можна завжди єдиним чином подати у вигляді суми парної та непарної функції.
Наприклад, функція \(f(x)=x^2-x\) є сумою парної функції \(f_1=x^2\) і непарної \(f_2=-x\) .
\(\blacktriangleright\) Деякі властивості:
1) Твір і приватне двох функцій однакової парності – парна функція.
2) Твір і приватне двох функцій різної парності - непарна функція.
3) Сума та різниця парних функцій - парна функція.
4) Сума та різниця непарних функцій - непарна функція.
5) Якщо \(f(x)\) - парна функція, то рівняння \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) має єдиний корінь тоді і тільки коли, коли \(x =0\).
6) Якщо \(f(x)\) - парна або непарна функція, і рівняння \(f(x)=0\) має корінь \(x=b\) , то це рівняння обов'язково матиме другий корінь \(x =-b) .
\(\blacktriangleright\) Функція \(f(x)\) називається періодичною на \(X\) , якщо для деякого числа \(T\ne 0\) виконано \(f(x)=f(x+T) \) , Де \ (x, x + T \ in X \) . Найменше \(T\) , для якого виконано цю рівність, називається головним (основним) періодом функції.
У періодичної функції будь-яке число виду \(nT\) , де \(n\in \mathbb(Z)\) також буде періодом.
Приклад: будь-яка тригонометрична функція є періодичною;
у функцій \(f(x)=\sin x\) і \(f(x)=\cos x\) головний період дорівнює \(2\pi\) , у функцій \(f(x)=\mathrm( tg)\,x\) і \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) головний період дорівнює \(\pi\) .
Для того, щоб побудувати графік періодичної функції, можна побудувати її графік на будь-якому відрізку довжиною (T) (головний період); тоді графік всієї функції добудовується зрушенням побудованої частини на ціле число періодів праворуч і ліворуч:
\(\blacktriangleright\) Область визначення \(D(f)\) функції \(f(x)\) - це безліч, що складається з усіх значень аргументу \(x\), при яких функція має сенс (визначена).
Приклад: у функції \(f(x)=\sqrt x+1\) область визначення: \(x\in
Завдання 1 #6364
Рівень завдання: дорівнює ЄДІ
При яких значеннях параметра \(a\) рівняння
має єдине рішення?
Зауважимо, що оскільки \(x^2\) і \(\cos x\) - парні функції, якщо рівняння матиме корінь \(x_0\) , воно також матиме і корінь \(-x_0\) .
Справді, хай \(x_0\) – корінь, тобто рівність \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\)вірно. Підставимо \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).
Таким чином, якщо \(x_0\ne 0\) , то рівняння вже матиме як мінімум два корені. Отже, \ (x_0 = 0 \) . Тоді:
Ми отримали два значення параметра \(a\). Зауважимо, що ми використовували те, що (x=0) точно є коренем вихідного рівняння. Але ми ніде не використовували те, що він єдиний. Отже, потрібно підставити значення параметра \(a\) у вихідне рівняння і перевірити, при яких саме \(a\) корінь \(x=0\) дійсно буде єдиним.
1) Якщо \(a=0\) , то рівняння набуде вигляду \(2x^2=0\) . Очевидно, що це рівняння має лише один корінь (x = 0). Отже, значення (a = 0) нам підходить.
2) Якщо \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , то рівняння набуде вигляду \ Перепишемо рівняння у вигляді \ Так як \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), то \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Отже, значення правої частини рівняння (*) належать відрізку \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).
Оскільки \(x^2\geqslant 0\) , то ліва частина рівняння (*) більша або дорівнює \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .
Таким чином, рівність (*) може виконуватися тільки тоді, коли обидві частини рівняння дорівнюють \(\mathrm(tg)^2\,1\) . А це означає, що \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\]Отже, значення (a = - mathrm (tg), 1) нам підходить.
Відповідь:
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
Завдання 2 #3923
Рівень завдання: дорівнює ЄДІ
Знайдіть усі значення параметра \(a\) , при кожному з яких графік функції \
симетричний щодо початку координат.
Якщо графік функції симетричний щодо початку координат, то така функція є непарною, тобто виконано \(f(-x)=-f(x)\) для будь-якого \(x\) з області визначення функції. Таким чином, потрібно знайти значення параметра, при яких виконано \(f(-x)=-f(x).\)
\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8pi a+3x)4= -\left(3\) mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8pi-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ , \ dfrac (ax) 5 + 2 sin dfrac(8pi-3x)4right)quadRightarrowRightarrowquad &sindfrac(8pia+3x)4+sindfrac(8pi- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8pi a+3x)4+dfrac(8pi-3x)4right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8pi a+3x)4-dfrac(8pi-3x)4right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aligned)\]
Останнє рівняння має бути виконане для всіх \(x\) з області визначення \(f(x)\) , отже, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).
Відповідь:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
Завдання 3 #3069
Рівень завдання: дорівнює ЄДІ
Знайдіть усі значення параметра \(a\) , при кожному з яких рівняння має 4 рішення, де \(f\) – парна періодична з періодом \(T=\dfrac(16)3\) функція, визначена на всій числовій прямій , причому \(f(x)=ax^2\) при \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(Завдання від передплатників)
Так як \(f(x)\) - парна функція, то її графік симетричний щодо осі ординат, отже, при \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Таким чином, при \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), а це відрізок довжиною \(\dfrac(16)3\) , функція \(f(x)=ax^2\).
1) Нехай \ (a> 0 \). Тоді графік функції \(f(x)\) виглядатиме так: 
Тоді для того, щоб рівняння мало 4 рішення, потрібно, щоб графік \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) проходив через точку \(A\) : 
Отже, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\&9(a +2)=-32a \end(aligned) \end(gathered)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( gathered) \right.\]Так як \ (a> 0 \), то підходить \ (a = \ dfrac (18) (23) \).
2) Нехай (a)<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
Потрібно, щоб графік \(g(x)\) пройшов через точку \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end(gathered)\right.\]Оскільки \(a<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) Випадок, коли \(a=0\) , не підходить, тому що тоді \(f(x)=0\) при всіх \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) і рівняння матиме лише 1 корінь.
Відповідь:
\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)
Завдання 4 #3072
Рівень завдання: дорівнює ЄДІ
Знайдіть усі значення \(a\) , при кожному з яких рівняння \
має хоча б один корінь.
(Завдання від передплатників)
Перепишемо рівняння у вигляді \
і розглянемо дві функції: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) і \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
Функція \(g(x)\) є парною, має точку мінімуму \(x=0\) (причому \(g(0)=49\)).
Функція \(f(x)\) при \(x>0\) є спадною, а при \(x<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
Дійсно, при \(x>0\) другий модуль розкриється позитивно (\(|x|=x\) ), отже, незалежно від того, як розкриється перший модуль, \(f(x)\) буде дорівнює \( kx+A\) , де \(A\) - вираз від \(a\) , а \(k\) дорівнює або \(-9\) , або \(-3\) . При \(x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
Знайдемо значення \(f\) у точці максимуму: \ 
Для того, щоб рівняння мало хоча б одне рішення, потрібно, щоб графіки функцій (f) і (g) мали хоча б одну точку перетину. Отже, потрібно: \ \\]
Відповідь:
\(a\in \(-7\)\cup\)
Завдання 5 #3912
Рівень завдання: дорівнює ЄДІ
Знайдіть усі значення параметра \(a\) , при кожному з яких рівняння \
має шість різних рішень.
Зробимо заміну \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Тоді рівняння набуде вигляду \
Поступово виписуватимемо умови, за яких вихідне рівняння матиме шість рішень.
Зауважимо, що квадратне рівняння ((*)) може максимум мати два рішення. Будь-яке кубічне рівняння (Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) може мати не більше трьох рішень. Отже, якщо рівняння \((*)\) має два різні рішення (позитивних!, оскільки \(t\) має бути більше нуля) \(t_1\) і \(t_2\) , то, зробивши зворотну заміну, ми отримаємо: \[\left[\begin(gathered)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4) = t_2 \ end (aligned) \ end (gathered) \ right.Так як будь-яке позитивне число можна представити як \(\sqrt2\) якоюсь мірою, наприклад, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), то перше рівняння сукупності перепишеться як \
Як ми вже говорили, будь-яке кубічне рівняння має не більше трьох рішень, отже, кожне рівняння із сукупності матиме не більше трьох рішень. А значить, і вся сукупність матиме не більше шести рішень.
Отже, щоб вихідне рівняння мало шість рішень, квадратне рівняння \((*)\) повинно мати два різні рішення, а кожне отримане кубічне рівняння (з сукупності) повинно мати три різні рішення (причому жодне рішення одного рівняння не повинно збігатися з яким або рішенням другого!)
Очевидно, якщо квадратне рівняння \((*)\) матиме одне рішення, то ми ніяк не отримаємо шість рішень у вихідного рівняння.
Таким чином, план рішення стає зрозумілим. Давайте по пунктах випишемо умови, які мають виконуватися.
1) Щоб рівняння \((*)\) мало два різні рішення, його дискримінант має бути позитивним: \
2) Також потрібно, щоб обидва корені були позитивними (оскільки \(t>0\) ). Якщо добуток двох коренів позитивний і сума їх позитивна, то і самі корені будуть позитивними. Отже, потрібно: \[\begin(cases) 12-a>0\\(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]
Таким чином, ми вже забезпечили собі два різні позитивні корені \(t_1\) і \(t_2\).
3)
Давайте подивимося на таке рівняння \
За яких \(t\) воно матиме три різні рішення? Таким чином, ми визначили, що обидва корені рівняння ((*)) повинні лежати в інтервалі ((1; 4)). Як записати цю умову? мало чотири різних кореня, відмінних від нуля, що представляють разом з (x=0) арифметичну прогресію. Зауважимо, що функція \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) є парною, отже, якщо \(x_0\) є коренем рівняння \((*)\ ) , то й \(-x_0\) буде його коренем. Тоді необхідно, щоб корінням цього рівняння були впорядковані за зростанням числа: \(-2d, -d, d, 2d\) (тоді \(d>0\)). Саме тоді ці п'ять чисел будуть утворювати арифметичну прогресію (з різницею (d)). Щоб цим корінням були числа \(-2d, -d, d, 2d\) , потрібно, щоб числа \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) були корінням рівняння \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\). Тоді за теоремою Вієта: Перепишемо рівняння у вигляді \
і розглянемо дві функції: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) та \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) . Для того, щоб рівняння мало хоча б одне рішення, потрібно, щоб графіки функцій (f) і (g) мали хоча б одну точку перетину. Отже, потрібно: \
Вирішуючи цю сукупність систем, отримаємо відповідь: \\]
Відповідь: \(a\in \(-2\)\cup\) Парна функція.
Парнийназивається функція, знак якої не змінюється при зміні знака x. xвиконується рівність f(–x) = f(x). Знак xне впливає на знак y. Графік парної функції симетричний щодо осі координат (рис.1). Приклади парної функції: y= cos x y = x 2 y = –x 2 y = x 4 y = x 6 y = x 2 + x Пояснення: Непарна функція.
Непарноюназивається функція, знак якої змінюється при зміні знака x. Інакше кажучи, для будь-якого значення xвиконується рівність f(–x) = –f(x). Графік непарної функції симетричний щодо початку координат (рис.2). Приклади непарної функції: y= sin x y = x 3 y = –x 3 Пояснення: Візьмемо функцію y = - x 3 . Властивості парної та непарної функцій:
ПРИМІТКА:
Не всі функції є парними чи непарними. Є функції, які не підкоряються такій градації. Наприклад, функція кореня у = √хне належить ні до парних, ні до непарних функцій (рис.3). При перерахуванні властивостей подібних функцій слід давати відповідний опис: ні парна, ні непарна. Періодичні функції.
Як ви знаєте, періодичність – це повторюваність певних процесів із певним інтервалом. Функції, що описують ці процеси, називають періодичними функціями. Тобто це функції, у графіках яких є елементи, що повторюються з певними числовими інтервалами. Які тією чи іншою мірою були вам знайомі. Там було помічено, що запас властивостей функцій поступово поповнюватиметься. Про дві нові властивості і йтиметься у цьому параграфі. Визначення 1. Функцію у = f(x), х є Х, називають парною, якщо для будь-якого значення х із множини X виконується рівність f(-х) = f(х). Визначення 2. Функцію у = f(x), х є X, називають непарною, якщо для будь-якого значення х із множини X виконується рівність f(-х) = -f(х). Довести, що у = х 4 – парна функція. Рішення. Маємо: f(х) = х4, f(-х) = (-х)4. Але (-х) 4 = х4. Отже, будь-якого х виконується рівність f(-х) = f(х), тобто. функція є парною. Аналогічно можна довести, що функції у - х 2, у = х 6, у - х 8 є парними. Довести, що у = х 3 ~ непарна функція. Рішення. Маємо: f(х) = х3, f(-х) = (-х)3. Але (-х) 3 = -х 3 . Отже, будь-якого х виконується рівність f (-х) = -f (х), тобто. функція є непарною. Аналогічно можна довести, що функції у = х, у = х 5, у = х 7 є непарними. Ми з вами неодноразово переконувалися у цьому, нові терміни в математиці найчастіше мають «земне» походження, тобто. їх можна якимось чином пояснити. Така справа і з парними, і з непарними функціями. Дивіться: у - х 3, у = х 5, у = х 7 - непарні функції, тоді як у = х 2, у = х 4, у = х 6 - парні функції. І взагалі для будь-якої функції виду у = х "(нижче ми спеціально займемося вивченням цих функцій), де n - натуральне число можна зробити висновок: якщо n - непарне число, то функція у = х" - непарна; якщо ж n – парне число, то функція у = хn – парна. Існують і функції, які не є ні парними, ні непарними. Така, наприклад, функція у = 2х + 3. Насправді, f(1) = 5, а f(-1) = 1. Як бачите, тут Значить, не може виконуватися ні тотожність f(-х) = f ( х), ні тотожність f(-х) = -f(х). Отже, функція може бути парною, непарною, а також жодною. Вивчення питання, чи є задана функція парної чи непарної, зазвичай називають дослідженням функції на парність. У визначеннях 1 і 2 йдеться про значення функції у точках х і -х. Тим самим передбачається, що функція визначена і в точці х, і в точці -х. Це означає, що точка -х належить області визначення функції одночасно з точкою х. Якщо числове безліч X разом із кожним своїм елементом х містить і протилежний елемент -х, X називають симетричним безліччю. Скажімо, (-2, 2), [-5, 5], (-оо, +оо) - симетричні множини, в той час як )
Розглянемо функцію \(f(x)=x^3-3x^2+4\).
Можна розкласти на множники: \
Отже, її нулі: \ (x = -1; 2 \).
Якщо визначити похідну \(f"(x)=3x^2-6x\) , ми отримаємо дві точки екстремуму \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Отже, графік виглядає так: 
Ми, будь-яка горизонтальна пряма \(y=k\) , де \(0
Таким чином, потрібно: \[\begin(cases) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
Давайте також відразу зауважимо, що якщо числа \(t_1\) і \(t_2\) різні, то і числа \(\log_(\sqrt2)t_1\) і \(\log_(\sqrt2)t_2\) будуть різні, значить, і рівняння \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)і \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\)матимуть коріння, що не співпадає між собою.
Систему \((**)\) можна переписати так: \[\begin(cases) 1
У явному вигляді виписувати коріння ми не будемо.
Розглянемо функцію \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Її графік – парабола з гілками догори, яка має дві точки перетину з віссю абсцис (цю умову ми записали у пункті 1)). Як має виглядати її графік, щоб точки перетину з віссю абсцис були в інтервалі \((1;4)\)? Так: 
По-перше, значення \(g(1)\) та \(g(4)\) функції в точках \(1\) і \(4\) повинні бути позитивними, по-друге, вершина параболи \(t_0\) ) повинна також перебувати в інтервалі \((1;4)\). Отже, можна записати систему: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
Функція \(g(x)\) має точку максимуму \(x=0\) (причому \(g_(\text(верш))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Нуль похідної: \ (x = 0 \). При (x<0\)
имеем: \(g">0\) при \(x>0\) : \(g"<0\)
.
Функція \(f(x)\) при \(x>0\) є зростаючою, а при \(x<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
Дійсно, при \(x>0\) перший модуль розкриється позитивно (\(|x|=x\) ), отже, незалежно від того, як розкриється другий модуль, \(f(x)\) буде дорівнює \( kx+A\) , де \(A\) - вираз від \(a\) , а \(k\) одно або \(13-10=3\) , або \(13+10=23\) . При (x<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
Знайдемо значення \(f\) у точці мінімуму: \
Візьмемо функцію y = x 2 або y = –x 2 .
За будь-якого значення xфункція позитивна. Знак xне впливає на знак y. Графік симетричний щодо осі координат. Це парна функція.
Усі значення уу ній будуть зі знаком мінус. Тобто знак xвпливає на знак y. Якщо незалежна змінна – позитивне число, те й функція позитивна, якщо незалежна змінна – негативне число, те й функція негативна: f(–x) = –f(x).
Графік функції симетричний щодо початку координат. Це непарна функція.